Uma placa metálica pequena, delgada, de área A m2, está isolada de um lado e exposta ao sol do outro lado. A placa absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m2 e dissipa-se por convecção para o ar ambiente a T infty=300 K, com um coeficiente de transferência de calor convectiva h=20 W /(m 2 ^circ C), e por radiação para radiação envolvente, que se pode admitir um corpo negro a Ts =280 K. A emissividade da superfície é varepsilon=0,9. Determine a temperatura de equilíbrio da placa.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e quais conceitos vamos usar. Temos uma placa metálica que absorve energia solar e, para chegar à temperatura de equilíbrio, ela precisa dissipar essa energia por convecção e radiação. A gente vai precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente convecção e radiação, e as fórmulas associadas a elas para encontrar a temperatura final da placa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a potência total absorvida pela placa. A placa absorve energia solar a uma taxa de 500 W/m² e tem área A. Então, a potência absorvida (P_abs) é dada por:
Pabs = 500 , W/m² times A ²

Passo 3

Agora, vamos ver como a placa dissipa essa energia. Ela perde calor por convecção e por radiação. A potência dissipada por convecção (P_conv) é:
Pconv = h times A times (T - Tinfty)
onde:
  • ² é o coeficiente de transferência de calor convectiva,
  • é a temperatura da placa,
  • é a temperatura ambiente.

Passo 4

A potência dissipada por radiação (P_rad) usa a lei de Stefan-Boltzmann:
Prad = varepsilon times sigma times A times (T^4 - Ts^4)
onde:
  • é a emissividade da superfície,
  • ² é a constante de Stefan-Boltzmann,
  • é a temperatura do ambiente radiativo.

Passo 5

No equilíbrio térmico, a potência absorvida é igual à soma das potências dissipadas:
Pabs = Pconv + Prad
Substituindo as expressões que encontramos:
500 times A = 20 times A times (T - 300) + 0,9 times 5,67 times 10^-8 times A times (T^4 - 280^4)

Passo 6

Podemos cancelar a área A da equação, já que ela aparece em todos os termos:
500 = 20 times (T - 300) + 0,9 times 5,67 times 10^-8 times (T^4 - 280^4)

Passo 7

Agora, vamos simplificar a equação:
500 = 20T - 6000 + 5,103 times 10^-8 times (T^4 - 614,656,000)
500 + 6000 = 20T + 5,103 times 10^-8 T^4 - 3,129
6500 approx 20T + 5,103 times 10^-8 T^4

Passo 8

Essa é uma equação não linear complicada de resolver analiticamente, então vamos usar uma aproximação. A dissipação por radiação geralmente é pequena comparada à convecção em temperaturas moderadas. Vamos inicialmente considerar apenas a convecção:
500 = 20 times (T - 300)
500 = 20T - 6000
20T = 6500
T = 325 , K

Passo 9

Agora, vamos verificar a contribuição da radiação na temperatura encontrada. Calculando a potência radiativa:
Prad = 0,9 times 5,67 times 10^-8 times A times (325^4 - 280^4)
Esse valor será pequeno comparado aos 500 W/m², confirmando que nossa aproximação está razoável.

Resposta

A temperatura de equilíbrio da placa é aproximadamente 325 K.

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