Dado um circuito na forma de hexágono regular de lado a, percorrido por uma corrente I, obtenha o campo magnético B no seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um circuito em forma de hexágono regular com lado de comprimento e uma corrente passando por ele. O objetivo é encontrar o campo magnético no centro desse hexágono. Vamos precisar usar conceitos de Magnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o campo magnético dB = mu04pi I , dl times rr^2 gerado por um elemento de corrente em um ponto no espaço é dado por:
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é o vetor unitário na direção do ponto onde estamos calculando o campo,
  • é a distância entre o elemento de corrente e o ponto.

Passo 3

Como temos um hexágono regular, todos os lados são iguais e a distância do centro até cada lado é a mesma. Vamos calcular o campo magnético no centro gerado por um único lado e depois multiplicar pelo número de lados (6) para obter o campo total.

Passo 4

Para um segmento de linha retilínea de comprimento Bsegmento = mu0 I4pi r ( sin theta2 - sin theta1 ) com corrente , o campo magnético no ponto central perpendicular ao segmento é dado por:
No caso do hexágono, cada segmento forma um ângulo de no centro (já que , considerando dois ângulos por segmento). Então, e .

Passo 5

Calculando sin(-30^circ) - sin(30^circ) = -12 - 12 = -1 :
| sin theta2 - sin theta1 | = 1
Como estamos interessados apenas na magnitude, vamos considerar o valor positivo:

Passo 6

A distância r = a2 tan(pi/6) = a2 tan(30^circ) = a2 times 1raiz3 = a raiz32 do centro a cada segmento pode ser encontrada pela relação:

Passo 7

Substituindo Bsegmento = mu0 I4pi times a raiz32 times 1 = mu0 I2pi a raiz3 e o valor de na equação do campo de um segmento:

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo número de segmentos no hexágono (6):
Btotal = 6 times mu0 I2pi a raiz3 = 3 mu0 Ipi a raiz3 = mu0 I raiz3pi a

Resposta

O campo magnético no centro do hexágono é:
B = mu0 I raiz3pi a

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