Dado um circuito na forma de hexágono regular de lado , percorrido por uma corrente , obtenha o campo magnético no seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um circuito em forma de hexágono regular com lado de comprimento e uma corrente passando por ele. O objetivo é encontrar o campo magnético no centro desse hexágono. Vamos precisar usar conceitos de Magnetismo, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o campo magnético gerado por um elemento de corrente em um ponto no espaço é dado por:
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é o vetor unitário na direção do ponto onde estamos calculando o campo,
  • é a distância entre o elemento de corrente e o ponto.

Passo 3

Como temos um hexágono regular, todos os lados são iguais e a distância do centro até cada lado é a mesma. Vamos calcular o campo magnético no centro gerado por um único lado e depois multiplicar pelo número de lados (6) para obter o campo total.

Passo 4

Para um segmento de linha retilínea de comprimento com corrente , o campo magnético no ponto central perpendicular ao segmento é dado por:
No caso do hexágono, cada segmento forma um ângulo de no centro (já que , considerando dois ângulos por segmento). Então, e .

Passo 5

Calculando :
Como estamos interessados apenas na magnitude, vamos considerar o valor positivo:

Passo 6

A distância do centro a cada segmento pode ser encontrada pela relação:

Passo 7

Substituindo e o valor de na equação do campo de um segmento:

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo número de segmentos no hexágono (6):

Resposta

O campo magnético no centro do hexágono é:

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