Considere o Campo elétrico produzido por uma esfera de raio
, carga
, mas que possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme, dada por
. Utilizando a Lei de Gauss e determinando o campo elétrico em
, temos que:a. O campo elétrico cresce com exponencial de r
b. O campo elétrico decai com exponencial de rc. O campo elétrico é similar ao de uma carga pontual e decai com r r²d. O campo elétrico é nuloe. O campo elétrico é constante para r>R
b. O campo elétrico decai com exponencial de rc. O campo elétrico é similar ao de uma carga pontual e decai com r r²d. O campo elétrico é nuloe. O campo elétrico é constante para r>R
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o campo elétrico (
) gerado por uma esfera de raio
com carga total
e densidade de carga não uniforme
. Precisamos usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico quando a distância
é muito maior que
(
). Basicamente, vamos descobrir como o campo elétrico se comporta longe da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela é uma das equações de Maxwell e relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento infinitesimal da área da superfície, -
é a carga total dentro da superfície, -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como queremos encontrar o campo elétrico para
, vamos imaginar uma superfície gaussiana esférica de raio
maior que
. Nessa configuração, toda a carga
está dentro da superfície gaussiana, já que a esfera de carga tem raio
e
é muito maior que
.
Passo 4
Uma propriedade importante é que, quando estamos muito longe da distribuição de carga (
), a distribuição de cargas parece concentrada em um ponto. Isso significa que o campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse no centro da esfera, semelhante a uma carga pontual.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss nessa situação, o campo elétrico
será radial e uniforme em magnitude sobre a superfície esférica gaussiana. Portanto, podemos simplificar a integral:
Desse jeito, isolando
:
Passo 6
Observamos que o campo elétrico
decai com o quadrado da distância
, ou seja,
. Isso é exatamente como o campo de uma carga pontual se comporta.
Resposta
c. O campo elétrico é similar ao de uma carga pontual e decai com