No planeta Newtonia, um pêndulo simples com um peso de massa e um comprimento de 185 cm , quando libertado a partir do repouso, leva para oscilar de um ângulo de , e então volta a ter velocidade igual a zero. A circunferência de Newtonia mede 51.400 km . Qual é a massa do planeta Newtonia? Considere a constante gravitacional sendo . (Valor: 1,5 )
Página

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um pêndulo no planeta Newtonia com uma massa de e um comprimento de . Quando solto a partir de um ângulo de , ele leva para oscilar de volta à velocidade zero. Sabemos que a circunferência de Newtonia é e a constante gravitacional . O objetivo é descobrir qual é a massa do planeta Newtonia. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pêndulo simples e a lei da gravitação universal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do pêndulo. O tempo que o pêndulo leva para oscilar de um lado para o outro é parte do seu período. No caso, o pêndulo leva para ir de um ângulo de até voltar à velocidade zero, o que corresponde a um quarto do período completo de oscilação. Portanto, o período completo é:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do período de um pêndulo simples, que relaciona o período com o comprimento e a aceleração da gravidade :
Queremos encontrar , então vamos isolar :
Precisamos assegurar que todas as unidades estejam consistentes, então vamos converter o comprimento de centímetros para metros:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos a aceleração da gravidade em Newtonia, podemos relacioná-la com a massa do planeta usando a lei da gravitação universal:
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa do planeta que queremos encontrar,
  • é o raio do planeta.
Vamos resolver para :

Passo 5

Precisamos encontrar o raio de Newtonia. Sabemos que a circunferência é , então:
Convertendo a circunferência para metros:
Então:

Passo 6

Agora, substituímos , e na fórmula para encontrar :
Primeiro calculamos :
Agora, multiplicamos por :
Finalmente, dividimos por :

Resposta

A massa do planeta Newtonia é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere o Campo elétrico produzido por uma esfera de raio , carga , mas que possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme, dada por . Utilizando a Lei de Gauss e determinando o campo elétrico em , temos que:a. O campo elétrico cresce com exponencial de r
b. O campo elétrico decai com exponencial de rc. O campo elétrico é similar ao de uma carga pontual e decai com r r²d. O campo elétrico é nuloe. O campo elétrico é constante para r>R
O campo elétrico dirigido para baixo na atmosfera da Terra decresce em módulo com o crescimento da altitude acima da superfície. Suponha E=100 N/C a 200 m e 50 N/C a 300 m acima da superfície da Terra. O valor estimado da densidade de carga de volume média na atmosfera terrestre no intervalo de altitudes 200 a 300 m é dado por:
Alternativas.
a.

b.

c.

d.

e.
Dado um circuito na forma de hexágono regular de lado , percorrido por uma corrente , obtenha o campo magnético no seu centro.
Considere duas placas planas e paralelas carregadas com carga de mesmo módulo Q , mas de sinais opostos. As dimensões laterais de cada placa são muito maiores do que a separação entre elas, mm , e o módulo da densidade superficial de carga é de . A diferença de potencial entre as mesmas será dada por:
a. 1000 V
b. 10 Vc. 100 kVd. 100 Ve. 1 mV