No planeta Newtonia, um pêndulo simples com um peso de massa 1,25 kg e um comprimento de 185 cm , quando libertado a partir do repouso, leva 1,42 s para oscilar de um ângulo de 12,5^circ, e então volta a ter velocidade igual a zero. A circunferência de Newtonia mede 51.400 km . Qual é a massa do planeta Newtonia? Considere a constante gravitacional sendo G= 6,6743 times 10^-11[m^3 / Kg s]. (Valor: 1,5 )
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um pêndulo no planeta Newtonia com uma massa de e um comprimento de . Quando solto a partir de um ângulo de , ele leva para oscilar de volta à velocidade zero. Sabemos que a circunferência de Newtonia é e a constante gravitacional . O objetivo é descobrir qual é a massa do planeta Newtonia. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pêndulo simples e a lei da gravitação universal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do pêndulo. O tempo que o pêndulo leva para oscilar de um lado para o outro é parte do seu período. No caso, o pêndulo leva T = 4 times 1,42 , s = 5,68 , s para ir de um ângulo de até voltar à velocidade zero, o que corresponde a um quarto do período completo de oscilação. Portanto, o período completo é:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do período de um pêndulo simples, que relaciona o período T = 2pi raizlg com o comprimento g = 4pi^2 lT^2 e a aceleração da gravidade l = 185 , cm = 1,85 , m :
g = 4pi^2 times 1,85(5,68)^2 approx 4 times 9,8696 times 1,8532,2624 approx 73,03532,2624 approx 2,266 , m/s^2
Queremos encontrar , então vamos isolar :
Precisamos assegurar que todas as unidades estejam consistentes, então vamos converter o comprimento de centímetros para metros:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos a aceleração da gravidade g = G times MR^2 em Newtonia, podemos relacioná-la com a massa do planeta usando a lei da gravitação universal:
M = g times R^2G
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa do planeta que queremos encontrar,
  • é o raio do planeta.
Vamos resolver para :

Passo 5

Precisamos encontrar o raio C = 2pi R implies R = C2pi de Newtonia. Sabemos que a circunferência C = 51.400 , km = 51.400.000 , m é R = 51.400.0002 times 3,1416 approx 51.400.0006,2832 approx 8.181.981 , m , então:
Convertendo a circunferência para metros:
Então:

Passo 6

Agora, substituímos M = 2,266 times (8.181.981)^26,6743 times 10^-11 , R^2 = (8.181.981)^2 approx 66.952.000.000 , m^2 e g times R^2 = 2,266 times 66.952.000.000 approx 151.700.000.000 , m^3/s^2 na fórmula para encontrar M = 151.700.000.0006,6743 times 10^-11 approx 2,275 times 10^21 , kg :
Primeiro calculamos :
Agora, multiplicamos por :
Finalmente, dividimos por :

Resposta

A massa do planeta Newtonia é aproximadamente .

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