No planeta Newtonia, um pêndulo simples com um peso de massa
e um comprimento de 185 cm , quando libertado a partir do repouso, leva
para oscilar de um ângulo de
, e então volta a ter velocidade igual a zero. A circunferência de Newtonia mede 51.400 km . Qual é a massa do planeta Newtonia? Considere a constante gravitacional sendo
. (Valor: 1,5 )
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um pêndulo no planeta Newtonia com uma massa de
e um comprimento de
. Quando solto a partir de um ângulo de
, ele leva
para oscilar de volta à velocidade zero. Sabemos que a circunferência de Newtonia é
e a constante gravitacional
. O objetivo é descobrir qual é a massa do planeta Newtonia. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pêndulo simples e a lei da gravitação universal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do pêndulo. O tempo que o pêndulo leva para oscilar de um lado para o outro é parte do seu período. No caso, o pêndulo leva
para ir de um ângulo de
até voltar à velocidade zero, o que corresponde a um quarto do período completo de oscilação. Portanto, o período
completo é:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do período de um pêndulo simples, que relaciona o período
com o comprimento
e a aceleração da gravidade
:
Queremos encontrar
, então vamos isolar
:
Precisamos assegurar que todas as unidades estejam consistentes, então vamos converter o comprimento de centímetros para metros:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora que temos a aceleração da gravidade
em Newtonia, podemos relacioná-la com a massa do planeta usando a lei da gravitação universal:
Onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do planeta que queremos encontrar, -
é o raio do planeta.
Vamos resolver para
:
Passo 5
Precisamos encontrar o raio
de Newtonia. Sabemos que a circunferência
é
, então:
Convertendo a circunferência para metros:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
na fórmula para encontrar
:
Primeiro calculamos
:
Agora, multiplicamos por
:
Finalmente, dividimos por
:
Resposta
A massa do planeta Newtonia é aproximadamente
.