Seja
um conjunto dos números reais, limitado superiormente.
Considere o conjunto
. Mostre que:
(a)
;
(b)
é limitado inferiormente;
© existe
;
(d) existe
;
(e)
.
Considere o conjunto
(a)
(b)
© existe
(d) existe
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado tá falando sobre conjuntos de números reais. Temos um conjunto
que não é vazio e tem um limite superior. A gente cria um novo conjunto
multiplicando cada elemento de
por
. Precisamos mostrar algumas propriedades sobre
. Pra resolver isso, vamos lembrar de conceitos como conjuntos não vazios, limites inferiores e superiores, e como operações com conjuntos afetam esses limites.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
Como
não é vazio (
), significa que tem pelo menos um elemento
em
. Quando multiplicamos esse
por
, ainda teremos um elemento em
, ou seja,
. Logo,
também não é vazio.
Passo 3
Parte (b): Mostrar que
é limitado inferiormente
Como
é limitado superiormente, existe um número
tal que todo
em
satisfaz
. Ao multiplicar por
, a desigualdade muda de direção:
. Isso significa que todo elemento de
é maior ou igual a
, então
tem um limite inferior, que é
.
Passo 4
Parte ©: Mostrar que existe
Sabemos que
é limitado superiormente. Pelo axioma de supremum (ou pelo fato de
ser um campo ordenado completo), todo conjunto não vazio e limitado superiormente dos números reais possui o menor limite superior, chamado de supremo (
).
Passo 5
Parte (d): Mostrar que existe
Já vimos que
é limitado inferiormente. Novamente, usando o axioma de supremum, podemos aplicar a mesma lógica para limitação inferior: todo conjunto não vazio e limitado inferiormente nos números reais tem um maior limite inferior, chamado de ínfimo (
).
Passo 6
Parte (e): Mostrar que
Sabemos que cada elemento de
é da forma
, onde
está em
. O supremo de
é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
. Quando multiplicamos por
, esse supremo se transforma no ínfimo de
. Portanto,
.
Resposta
Mostramos que:
(a) não é vazio;
(b) é limitado inferiormente;
© Existe ;
(d) Existe ;
(e) .
(a)
(b)
© Existe
(d) Existe
(e)
Exercícios relacionados
Seja o conjunto
. Faça o que se pede:
(a) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definidos em ;
(b) B é limitado superiormente? Existe o supremo do conjunto B? O conjunto B possui máximo? Demonstre e justifique suas respostas.
(a) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definidos em
(b) B é limitado superiormente? Existe o supremo do conjunto B? O conjunto B possui máximo? Demonstre e justifique suas respostas.
Dado o conjunto
. Prove, utilizando o postulado de Dedekind, que: sup
.
Calcule
onde
é o sólido limitado superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.
Calcule
onde
e
é a curva obtida como interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário.