Seja um conjunto dos números reais, limitado superiormente.
Considere o conjunto . Mostre que:
(a) ;
(b) é limitado inferiormente;
© existe ;
(d) existe ;
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá falando sobre conjuntos de números reais. Temos um conjunto que não é vazio e tem um limite superior. A gente cria um novo conjunto multiplicando cada elemento de por . Precisamos mostrar algumas propriedades sobre . Pra resolver isso, vamos lembrar de conceitos como conjuntos não vazios, limites inferiores e superiores, e como operações com conjuntos afetam esses limites.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que
Como não é vazio ( ), significa que tem pelo menos um elemento em . Quando multiplicamos esse por , ainda teremos um elemento em , ou seja, . Logo, também não é vazio.

Passo 3

Parte (b): Mostrar que é limitado inferiormente
Como é limitado superiormente, existe um número tal que todo em satisfaz . Ao multiplicar por , a desigualdade muda de direção: . Isso significa que todo elemento de é maior ou igual a , então tem um limite inferior, que é .

Passo 4

Parte ©: Mostrar que existe
Sabemos que é limitado superiormente. Pelo axioma de supremum (ou pelo fato de ser um campo ordenado completo), todo conjunto não vazio e limitado superiormente dos números reais possui o menor limite superior, chamado de supremo ( ).

Passo 5

Parte (d): Mostrar que existe
Já vimos que é limitado inferiormente. Novamente, usando o axioma de supremum, podemos aplicar a mesma lógica para limitação inferior: todo conjunto não vazio e limitado inferiormente nos números reais tem um maior limite inferior, chamado de ínfimo ( ).

Passo 6

Parte (e): Mostrar que
Sabemos que cada elemento de é da forma , onde está em . O supremo de é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . Quando multiplicamos por , esse supremo se transforma no ínfimo de . Portanto, .

Resposta

Mostramos que:
(a) não é vazio;
(b) é limitado inferiormente;
© Existe ;
(d) Existe ;
(e) .

Exercícios relacionados

Seja o conjunto . Faça o que se pede:
(a) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definidos em ;
(b) B é limitado superiormente? Existe o supremo do conjunto B? O conjunto B possui máximo? Demonstre e justifique suas respostas.
Dado o conjunto . Prove, utilizando o postulado de Dedekind, que: sup .
Calcule
onde é o sólido limitado superiormente pela esfera e inferiormente pelo cone .
Calcule
onde e é a curva obtida como interseção do cilindro com o plano , orientada no sentido anti-horário.