Dado o conjunto W=(x, y, z) in R^3 mid x-2 y=0
Determine um gerador de W.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos o conjunto . O conteúdo da matéria está relacionado a subespaços vetoriais e geração de conjuntos vetoriais. Para resolver, precisamos entender o que é um gerador de um conjunto e como encontrar vetores que possam gerar todos os elementos de .

Passo 2

Vamos começar interpretando a condição dada: . Isso significa que . Portanto, qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e são números reais livres.

Passo 3

Podemos expressar o vetor (2y, y, z) = y cdot (2, 1, 0) + z cdot (0, 0, 1) como uma combinação linear dos vetores que multiplicam e . Ou seja:
Aqui, é o vetor que multiplica e é o vetor que multiplica .

Passo 4

Isso mostra que todo vetor em pode ser gerado pela combinação linear dos vetores e . Portanto, esses dois vetores são geradores de .

Resposta

Um gerador de é o conjunto .

Exercícios relacionados

Determine o subespaço S gerado pelos vetores v1=(1,-2,0) e v2=(2,-2,-1), e ache o valor de k para que o vetor (2, k, 2) pertença a S.
Seja: M^2 times 2 o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 2, C=[llc & c c & c] uma matriz constante.
Definimos V=A in M^2 times 2 / A C=[ll0 & 0 0 & 0] com as operações de adição de matrizes e produto por um escalar. Prove que V é um espaço vetorial.
Mostre que as matrizes a, b e c são LI.
a=[ll1 & 1 0 & 0], b=[ll1 & 0 0 & 1], c=[ll1 & 1 1 & 1]
Quais as coordenadas do ponto médio do seguimento de extremidades C(2,7) e D(10,5).