Determine o subespaço
gerado pelos vetores
e
, e ache o valor de
para que o vetor
pertença a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o subespaço
gerado pelos vetores
e
. Depois, precisamos achar o valor de
tal que o vetor
faça parte desse subespaço
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre combinações lineares de vetores e entender o que é um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço
gerado por
e
. Isso quer dizer que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Matemáticamente, qualquer vetor
em
pode ser escrito como:
Onde
e
são escalares (números reais).
Passo 3
Vamos então escrever a combinação linear dos vetores
e
:
Então, qualquer vetor em
tem a forma
.
Passo 4
Agora, queremos que o vetor
pertença a
. Isso significa que devemos encontrar valores de
e
que satisfaçam as seguintes equações:
Passo 5
Vamos resolver a equação (3) para encontrar
:
Agora, substituímos
na equação (1) para encontrar
:
Passo 6
Com os valores de
e
, vamos substituir na equação (2) para encontrar
:
Resposta
O subespaço
é composto por todas as combinações lineares de
e
, ou seja,
. O valor de
para que o vetor
pertença a
é
.
Exercícios relacionados
Seja:
o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem
uma matriz constante.
Definimos com as operações de adição de matrizes e produto por um escalar. Prove que
é um espaço vetorial.
Definimos
Seja
e
subespaços de
gerados pelos vetores
e
.
Calcule e
tais que:
Calcule
Dado o conjunto
Determine um gerador de .
Determine um gerador de
Mostre que as matrizes
e
são LI.