Seja: M^2 times 2 o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 2, C=[llc & c c & c] uma matriz constante.
Definimos V=A in M^2 times 2 / A C=[ll0 & 0 0 & 0] com as operações de adição de matrizes e produto por um escalar. Prove que V é um espaço vetorial.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto de todas as matrizes C = c & c c & c , representado por V = A in M^2 times 2 mid A C = 0 & 0 0 & 0 , e uma matriz constante definida como:
O conjunto é definido como todas as matrizes em que, quando multiplicadas pela matriz , resultam na matriz zero:
Queremos provar que é um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se satisfaz os axiomas de um espaço vetorial usando operações de adição de matrizes e multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfazem certos axiomas, como ter uma operação de adição e outra de multiplicação por um escalar que seguem regras específicas.
Para provar que é um espaço vetorial, precisamos verificar os seguintes pontos:
  1. Fechamento pela adição: Se e estão em , então também está em .
  2. Fechamento pela multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então está em .
  3. Existência do vetor zero: Existe uma matriz zero em que, quando adicionada a qualquer matriz , retorna .
  4. Outros axiomas: Como associatividade, comutatividade da adição, existência de inversos aditivos, etc.
Vamos verificar esses pontos um a um.

Passo 3

1. Fechamento pela adição
Vamos pegar duas matrizes A C = 0 & 0 0 & 0 e B C = 0 & 0 0 & 0 e (A + B) C = 0 & 0 0 & 0 que pertencem a (A + B) C = A C + B C = 0 & 0 0 & 0 + 0 & 0 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 . Isso significa que:
Queremos mostrar que também está em , ou seja, que:
Vamos calcular:
Portanto, também satisfaz a condição , o que significa que está em . Assim, é fechado pela adição.

Passo 4

2. Fechamento pela multiplicação por escalar
Agora, vamos tomar uma matriz A C = 0 & 0 0 & 0 que está em (alpha A) C = 0 & 0 0 & 0 e um escalar (alpha A) C = alpha (A C) = alpha 0 & 0 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 . Sabemos que:
Queremos mostrar que também está em , ou seja:
Vamos calcular:
Assim, também satisfaz a condição , o que significa que está em . Portanto, é fechado pela multiplicação por escalar.

Passo 5

3. Existência do vetor zero
Precisamos mostrar que existe uma matriz zero em 0 = 0 & 0 0 & 0 . A matriz zero em 0 cdot C = 0 & 0 0 & 0 cdot c & c c & c = 0 & 0 0 & 0 é:
Vamos verificar se ela pertence a :
Como , a matriz zero está em . Isso garante que contém o vetor zero.

Passo 6

4. Outros axiomas
Os outros axiomas de um espaço vetorial, como associatividade e comutatividade da adição, existência de inversos aditivos, e distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição, já são satisfeitos porque estamos trabalhando dentro do conjunto das matrizes , que é um espaço vetorial conhecido. Portanto, não precisamos verificar cada um deles novamente para .

Resposta

Concluímos que o conjunto satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Logo, é de fato um espaço vetorial.

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