Seja:
o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem
uma matriz constante.
Definimos
com as operações de adição de matrizes e produto por um escalar. Prove que
é um espaço vetorial.
Definimos
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto de todas as matrizes
, representado por
, e uma matriz constante
definida como:
O conjunto
é definido como todas as matrizes
em
que, quando multiplicadas pela matriz
, resultam na matriz zero:
Queremos provar que
é um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se
satisfaz os axiomas de um espaço vetorial usando operações de adição de matrizes e multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfazem certos axiomas, como ter uma operação de adição e outra de multiplicação por um escalar que seguem regras específicas.
Para provar que
é um espaço vetorial, precisamos verificar os seguintes pontos:
- Fechamento pela adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechamento pela multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então está em . - Existência do vetor zero: Existe uma matriz zero em
que, quando adicionada a qualquer matriz , retorna . - Outros axiomas: Como associatividade, comutatividade da adição, existência de inversos aditivos, etc.
Vamos verificar esses pontos um a um.
Passo 3
1. Fechamento pela adição
Vamos pegar duas matrizes
e
que pertencem a
. Isso significa que:
Queremos mostrar que
também está em
, ou seja, que:
Vamos calcular:
Portanto,
também satisfaz a condição
, o que significa que
está em
. Assim,
é fechado pela adição.
Passo 4
2. Fechamento pela multiplicação por escalar
Agora, vamos tomar uma matriz
que está em
e um escalar
. Sabemos que:
Queremos mostrar que
também está em
, ou seja:
Vamos calcular:
Assim,
também satisfaz a condição
, o que significa que
está em
. Portanto,
é fechado pela multiplicação por escalar.
Passo 5
3. Existência do vetor zero
Precisamos mostrar que existe uma matriz zero em
. A matriz zero em
é:
Vamos verificar se ela pertence a
:
Como
, a matriz zero está em
. Isso garante que
contém o vetor zero.
Passo 6
4. Outros axiomas
Os outros axiomas de um espaço vetorial, como associatividade e comutatividade da adição, existência de inversos aditivos, e distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição, já são satisfeitos porque estamos trabalhando dentro do conjunto das matrizes
, que é um espaço vetorial conhecido. Portanto, não precisamos verificar cada um deles novamente para
.
Resposta
Concluímos que o conjunto
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Logo,
é de fato um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Seja
e
subespaços de
gerados pelos vetores
e
.
Calcule e
tais que:
Calcule
Determine se o seguinte conjunto de vetores é L.I.
;
Determine o subespaço
gerado pelos vetores
e
, e ache o valor de
para que o vetor
pertença a
.
Dado o conjunto
Determine um gerador de .
Determine um gerador de