Dado dois vetores e , no espaço tridimensional. Determine para os vetores e (a) os ângulos de direção com os eixos , respectivamente, (b) o ângulo entre eles, © o produto vetorial e (d) o módulo de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, o vetor A e o vetor B. O exercício pede para a gente descobrir algumas coisas sobre eles:
a) Os ângulos que cada vetor forma com os eixos x, y e z (chamados de ângulos de direção);
b) O ângulo entre os dois vetores;
c) O produto vetorial desses vetores, que vai dar outro vetor C;
d) O módulo (ou seja, o comprimento) desse vetor C.
Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de trigonometria e álgebra vetorial. Vamos passar por cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte a: Ângulos de direção (α, β, γ) com os eixos x, y, z
Primeiro, vamos entender o que são esses ângulos. Para qualquer vetor no espaço, os ângulos que ele forma com os eixos x, y e z são chamados de ângulos de direção. Eles nos dão uma ideia de como o vetor está orientado no espaço.
A fórmula para encontrar o ângulo que um vetor V forma com o eixo x, por exemplo, é:
Onde é a componente do vetor na direção x, e é o módulo do vetor V.
Vamos fazer isso para ambos os vetores A e B.
Para o vetor A:
Primeiro, calculamos o módulo de A:
Depois, encontramos cada ângulo usando as componentes de A.
Para o vetor B:
Fazemos o mesmo:
E depois calculamos os ângulos com cada eixo.

Passo 3

Calculando os ângulos de direção para o vetor A:
Primeiro, vamos calcular o módulo de A:
Agora, vamos encontrar o ângulo α com o eixo x:
Para o ângulo β com o eixo y:
E para o ângulo γ com o eixo z:

Passo 4

Calculando os ângulos de direção para o vetor B:
Primeiro, calculamos o módulo de B:
Agora, vamos encontrar o ângulo α com o eixo x:
Para o ângulo β com o eixo y:
E para o ângulo γ com o eixo z:

Passo 5

Parte b: Ângulo entre os vetores A e B
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde é o ângulo entre A e B.
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Agora, usamos os módulos que já calculamos:
Resolvendo para :
Então,

Passo 6

Parte c: Produto vetorial
O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
Vamos montar essa matriz com os componentes de A e B:
Calculando o determinante:
Vamos calcular cada parte separadamente:
Para :
Para :
Para :
Então, o produto vetorial fica:

Passo 7

Parte d: Módulo do vetor
Agora, vamos calcular o módulo de C, que é o resultado do produto vetorial:

Resposta

(a) Para o vetor A: α ≈ 24°, β ≈ 75.4°, γ ≈ 71°; para o vetor B: α ≈ 66°, β ≈ 105.5°, γ ≈ 29°.
(b) O ângulo entre A e B é aproximadamente 54°.
© O produto vetorial C = A × B = 8.8 i − 19.56 j − 10.08 k.
(d) O módulo de C é aproximadamente 23.7 m.

Exercícios relacionados

Embora muitas estratégias engenhosas tenham sido atribuídas aos construtores da Grande Pirâmide, os blocos de pedra foram provavelmente içados com o auxílio de cordas. A Fig. 6-5a mostra um bloco de 2000 kg no processo de ser puxado ao longo de um lado acabado (liso) da Grande Pirâmide, que constitui um plano inclinado com um ângulo . O bloco é sustentado por um trenó de madeira e puxado por várias cordas (apenas uma é mostrada na figura). O caminho do trenó é lubrificado com água para reduzir o coeficiente de atrito estático para 0,40 . Suponha que o atrito no ponto (lubrificado) no qual a corda passa pelo alto da pirâmide seja desprezível. Se cada operário puxa com uma força de 686 N (um valor razoável), quantos operários são necessários para que o bloco esteja prestes a se mover?
TESTE 1 Um bloco repousa sobre um piso. (a) Qual é o módulo da força de atrito que o piso exerce sobre o bloco? (b) Se uma força horizontal de 5 N é aplicada ao bloco, mas o bloco não se move, qual é o módulo da força de atrito? © Se o valor máximo força de atrito estático que age sobre o bloco é 10 N , o bloco se moverá quando o módulo da forca aplicada horizontalmente for aumentado para 8 N ? (d) E se ele for aumentado para 12 N ? (e) Qual ć o módulo da força de atrito no item ©?
Considere os vetores e representados em termos de seus vetores unitários e . Represente os vetores em termos (a) de seu módulo e dos ângulos de direção ( e ), (b) de seu módulo e dos ângulos em coordenadas esféricas, © de suas projeções, no eixo z, plano xy e do ângulo em coordenadas cilíndricas.
São dados dois vetores: e . Determine o módulo e o ângulo de direção medido em relação ao eixo , das seguintes operações vetoriais: (a) , (b) , © e (d) .