São dados dois vetores: A=(4,0 m) i-(3,0 m) j e B= (5,0 m) i+(6,0 m) j. Determine o módulo e o ângulo de direção medido em relação ao eixo x>0, das seguintes operações vetoriais: (a) A+B, (b) A-B, © B-A e (d) 2 A-B.

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores dados: A = (4,0,m),i - (3,0,m),j e B = (5,0,m),i + (6,0,m),j. A tarefa é encontrar o módulo (ou seja, o tamanho) e o ângulo de direção em relação ao eixo positivo do x para as seguintes operações vetoriais:
(a) A + B,
(b) A - B,
© B - A e
(d) 2A - B.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa somar ou subtrair vetores. Quando a gente soma dois vetores, a gente está basicamente combinando suas componentes em i e j. Para isso, a gente vai somar as componentes correspondentes de cada vetor.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): A + B.
A componente i de A + B é 4,m + 5,m = 9,m.
A componente j é -3,m + 6,m = 3,m.
Então, A + B = 9,i + 3,j.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor. A fórmula para o módulo de um vetor V = Vx,i + Vy,j é:
|V| = raizVx^2 + Vy^2
Aplicando isso a A + B:
|A + B| = raiz9^2 + 3^2 = raiz81 + 9 = raiz90 approx 9,49,m

Passo 5

Para encontrar o ângulo de direção em relação ao eixo x, usamos a função tangente:
theta = arctan(VyVx)
Aplicando:
theta = arctan(39) = arctan(13) approx 18,43^circ

Passo 6

Repetimos o mesmo processo para as outras operações vetoriais.
Para a parte (b): A - B.
A - B = (4 - 5),i + (-3 - 6),j = -1,i - 9,j
Módulo:
|A - B| = raiz(-1)^2 + (-9)^2 = raiz1 + 81 = raiz82 approx 9,06,m
Ângulo:
theta = arctan(-9-1) = arctan(9) approx 83,66^circ
Como ambas as componentes são negativas, o vetor está no terceiro quadrante. Portanto, o ângulo em relação ao eixo x positivo é:
theta = 180^circ - 83,66^circ = 96,34^circ

Passo 7

Para a parte ©: B - A.
B - A = (5 - 4),i + (6 - (-3)),j = 1,i + 9,j
Módulo:
|B - A| = raiz1^2 + 9^2 = raiz1 + 81 = raiz82 approx 9,06,m
Ângulo:
theta = arctan(91) = arctan(9) approx 83,66^circ

Passo 8

Para a parte (d): 2A - B.
Primeiro, calculamos 2A:
2A = 2 times (4,i - 3,j) = 8,i - 6,j
Agora, subtraímos B:
2A - B = (8 - 5),i + (-6 - 6),j = 3,i - 12,j
Módulo:
|2A - B| = raiz3^2 + (-12)^2 = raiz9 + 144 = raiz153 approx 12,37,m
Ângulo:
theta = arctan(-123) = arctan(-4) approx -75,96^circ
Como a componente i é positiva e a j é negativa, o vetor está no quarto quadrante. O ângulo em relação ao eixo x positivo é:
theta = 360^circ - 75,96^circ = 284,04^circ

Resposta

(a) A + B = 9,i + 3,j, módulo approx 9,49,m e ângulo approx 18,43^circ.
(b) A - B = -1,i - 9,j, módulo approx 9,06,m e ângulo 96,34^circ.
© B - A = 1,i + 9,j, módulo approx 9,06,m e ângulo 83,66^circ.
(d) 2A - B = 3,i - 12,j, módulo approx 12,37,m e ângulo 284,04^circ.

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