Considere os vetores
e
representados em termos de seus vetores unitários
e
. Represente os vetores em termos (a) de seu módulo e dos ângulos de direção (
e
), (b) de seu módulo e dos ângulos em coordenadas esféricas, © de suas projeções, no eixo z, plano xy e do ângulo em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores,
e
. O assunto aqui é representação de vetores em diferentes formas: em termos de módulo e ângulos de direção, em coordenadas esféricas e cilíndricas, além das projeções nos eixos e planos. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de cálculo de módulo, ângulos entre vetores e conhecer os sistemas de coordenadas esféricas e cilíndricas.
Passo 2
a) Representar os vetores em termos de seu módulo e dos ângulos de direção (
).
Primeiro, vamos calcular o módulo de cada vetor. O módulo de um vetor
é dado por:
Para
:
Para
:
Agora, vamos encontrar os ângulos de direção
, que são os ângulos que o vetor faz com os eixos
,
e
, respectivamente. As fórmulas para esses ângulos são:
Para
:
Para
:
Passo 3
b) Representar os vetores em termos de seu módulo e dos ângulos em coordenadas esféricas.
No sistema de coordenadas esféricas, um vetor é representado pelo seu módulo
, o ângulo polar
(equivalente ao
anterior) e o ângulo azimutal
(equivalente à combinação de
e
).
As relações são:
Para
:
Para
:
Passo 4
c) Representar os vetores por suas projeções no eixo z, plano xy e do ângulo em coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas, representamos um vetor pelo seu módulo no plano
(
), a altura no eixo
(
) e o ângulo
com o eixo
no plano
.
As projeções são:
- Projeção no eixo z:
- Projeção no plano xy:
- Ângulo:
Para
:
Para
:
Resposta
a) Módulo e ângulos de direção:
- Para
: - Para
:
b) Coordenadas esféricas:
- Para
: - Para
:
c) Coordenadas cilíndricas:
- Para
: - Para
: