Considere os vetores
e
representados em termos de seus vetores unitários
e
. Represente os vetores em termos (a) de seu módulo e dos ângulos de direção (
e
), (b) de seu módulo e dos ângulos em coordenadas esféricas, © de suas projeções, no eixo z, plano xy e do ângulo em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores,
e
. O assunto aqui é representação de vetores em diferentes formas: em termos de módulo e ângulos de direção, em coordenadas esféricas e cilíndricas, além das projeções nos eixos e planos. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de cálculo de módulo, ângulos entre vetores e conhecer os sistemas de coordenadas esféricas e cilíndricas.
Passo 2
a) Representar os vetores em termos de seu módulo e dos ângulos de direção (
).
Primeiro, vamos calcular o módulo de cada vetor. O módulo de um vetor
é dado por:
Para
:
Para
:
Agora, vamos encontrar os ângulos de direção
, que são os ângulos que o vetor faz com os eixos
,
e
, respectivamente. As fórmulas para esses ângulos são:
Para
:
Para
:
Passo 3
b) Representar os vetores em termos de seu módulo e dos ângulos em coordenadas esféricas.
No sistema de coordenadas esféricas, um vetor é representado pelo seu módulo
, o ângulo polar
(equivalente ao
anterior) e o ângulo azimutal
(equivalente à combinação de
e
).
As relações são:
Para
:
Para
:
Passo 4
c) Representar os vetores por suas projeções no eixo z, plano xy e do ângulo em coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas, representamos um vetor pelo seu módulo no plano
(
), a altura no eixo
(
) e o ângulo
com o eixo
no plano
.
As projeções são:
- Projeção no eixo z:
- Projeção no plano xy:
- Ângulo:
Para
:
Para
:
Resposta
a) Módulo e ângulos de direção:
- Para
: - Para
:
b) Coordenadas esféricas:
- Para
: - Para
:
c) Coordenadas cilíndricas:
- Para
: - Para
:
Exercícios relacionados
Dado dois vetores
e
, no espaço tridimensional. Determine para os vetores
e
(a) os ângulos de direção
com os eixos
, respectivamente, (b) o ângulo entre eles, © o produto vetorial
e (d) o módulo de C.
Embora muitas estratégias engenhosas tenham sido atribuídas aos construtores da Grande Pirâmide, os blocos de pedra foram provavelmente içados com o auxílio de cordas. A Fig. 6-5a mostra um bloco de 2000 kg no processo de ser puxado ao longo de um lado acabado (liso) da Grande Pirâmide, que constitui um plano inclinado com um ângulo
. O bloco é sustentado por um trenó de madeira e puxado por várias cordas (apenas uma é mostrada na figura). O caminho do trenó é lubrificado com água para reduzir o coeficiente de atrito estático para 0,40 . Suponha que o atrito no ponto (lubrificado) no qual a corda passa pelo alto da pirâmide seja desprezível. Se cada operário puxa com uma força de 686 N (um valor razoável), quantos operários são necessários para que o bloco esteja prestes a se mover?
São dados dois vetores:
e
. Determine o módulo e o ângulo de direção medido em relação ao eixo
, das seguintes operações vetoriais: (a)
, (b)
, ©
e (d)
.
Uma partícula de massa m e carga elétrica q atravessa uma região de campo magnético uniforme
, com uma velocidade
constante, perpendicular à direção do campo, figura 12. (a) Mostre que a massa da partícula pode ser determinada medindo - se o raio de sua trajetória circular, uma vez conhecido as grandezas
eq.