Considere os vetores A=2 imath+3 jmath-5 k e B=6 imath- 4 jmath+3 k representados em termos de seus vetores unitários i, j e k. Represente os vetores em termos (a) de seu módulo e dos ângulos de direção ( alpha, beta e gamma ), (b) de seu módulo e dos ângulos em coordenadas esféricas, © de suas projeções, no eixo z, plano xy e do ângulo em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, A = 2,imath + 3,jmath - 5,k e B = 6,imath - 4,jmath + 3,k. O assunto aqui é representação de vetores em diferentes formas: em termos de módulo e ângulos de direção, em coordenadas esféricas e cilíndricas, além das projeções nos eixos e planos. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de cálculo de módulo, ângulos entre vetores e conhecer os sistemas de coordenadas esféricas e cilíndricas.

Passo 2

a) Representar os vetores em termos de seu módulo e dos ângulos de direção ( alpha, beta, gamma).
Primeiro, vamos calcular o módulo de cada vetor. O módulo de um vetor V = vx,imath + vy,jmath + vz,k é dado por:
|V| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Para A:
|A| = raiz2^2 + 3^2 + (-5)^2 = raiz4 + 9 + 25 = raiz38
Para B:
|B| = raiz6^2 + (-4)^2 + 3^2 = raiz36 + 16 + 9 = raiz61
Agora, vamos encontrar os ângulos de direção alpha, beta, gamma, que são os ângulos que o vetor faz com os eixos x, y e z, respectivamente. As fórmulas para esses ângulos são:
cosalpha = vx|V|, cosbeta = vy|V|, cosgamma = vz|V|
Para A:
cosalphaA = 2raiz38, cosbetaA = 3raiz38, cosgammaA = -5raiz38
Para B:
cosalphaB = 6raiz61, cosbetaB = -4raiz61, cosgammaB = 3raiz61

Passo 3

b) Representar os vetores em termos de seu módulo e dos ângulos em coordenadas esféricas.
No sistema de coordenadas esféricas, um vetor é representado pelo seu módulo r, o ângulo polar theta (equivalente ao gamma anterior) e o ângulo azimutal phi (equivalente à combinação de alpha e beta).
As relações são:
x = r sintheta cosphi, y = r sintheta sinphi, z = r costheta
Para A:
rA = raiz38, thetaA = arccos(-5raiz38), phiA = arctan(32)
Para B:
rB = raiz61, thetaB = arccos(3raiz61), phiB = arctan(-46)

Passo 4

c) Representar os vetores por suas projeções no eixo z, plano xy e do ângulo em coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas, representamos um vetor pelo seu módulo no plano xy ( rho), a altura no eixo z ( z) e o ângulo phi com o eixo x no plano xy.
As projeções são:
  • Projeção no eixo z: z = vz
  • Projeção no plano xy: rho = raizvx^2 + vy^2
  • Ângulo: phi = arctan(vyvx)
Para A:
zA = -5, rhoA = raiz2^2 + 3^2 = raiz13, phiA = arctan(32)
Para B:
zB = 3, rhoB = raiz6^2 + (-4)^2 = raiz52 = 2raiz13, phiB = arctan(-46)

Resposta

a) Módulo e ângulos de direção:
  • Para A: |A| = raiz38, alphaA = arccos(2raiz38), betaA = arccos(3raiz38), gammaA = arccos(-5raiz38)
  • Para B: |B| = raiz61, alphaB = arccos(6raiz61), betaB = arccos(-4raiz61), gammaB = arccos(3raiz61)
b) Coordenadas esféricas:
  • Para A: rA = raiz38, thetaA = arccos(-5raiz38), phiA = arctan(32)
  • Para B: rB = raiz61, thetaB = arccos(3raiz61), phiB = arctan(-46)
c) Coordenadas cilíndricas:
  • Para A: rhoA = raiz13, zA = -5, phiA = arctan(32)
  • Para B: rhoB = 2raiz13, zB = 3, phiB = arctan(-46)

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