Considere os vetores e representados em termos de seus vetores unitários e . Represente os vetores em termos (a) de seu módulo e dos ângulos de direção ( e ), (b) de seu módulo e dos ângulos em coordenadas esféricas, © de suas projeções, no eixo z, plano xy e do ângulo em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e . O assunto aqui é representação de vetores em diferentes formas: em termos de módulo e ângulos de direção, em coordenadas esféricas e cilíndricas, além das projeções nos eixos e planos. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de cálculo de módulo, ângulos entre vetores e conhecer os sistemas de coordenadas esféricas e cilíndricas.

Passo 2

a) Representar os vetores em termos de seu módulo e dos ângulos de direção ( ).
Primeiro, vamos calcular o módulo de cada vetor. O módulo de um vetor é dado por:
Para :
Para :
Agora, vamos encontrar os ângulos de direção , que são os ângulos que o vetor faz com os eixos , e , respectivamente. As fórmulas para esses ângulos são:
Para :
Para :

Passo 3

b) Representar os vetores em termos de seu módulo e dos ângulos em coordenadas esféricas.
No sistema de coordenadas esféricas, um vetor é representado pelo seu módulo , o ângulo polar (equivalente ao anterior) e o ângulo azimutal (equivalente à combinação de e ).
As relações são:
Para :
Para :

Passo 4

c) Representar os vetores por suas projeções no eixo z, plano xy e do ângulo em coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas, representamos um vetor pelo seu módulo no plano ( ), a altura no eixo ( ) e o ângulo com o eixo no plano .
As projeções são:
  • Projeção no eixo z:
  • Projeção no plano xy:
  • Ângulo:
Para :
Para :

Resposta

a) Módulo e ângulos de direção:
  • Para :
  • Para :
b) Coordenadas esféricas:
  • Para :
  • Para :
c) Coordenadas cilíndricas:
  • Para :
  • Para :

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