Seja X a variável aleatória que denota o número de sinistros registrados pelo segurado de uma companhia de seguros em um período de tempo específico. Com base em um amplo estudo dos registros de sinistros, pode-se supor que a distribuiçã de X seja a seguinte:
Calcule E[X], sigma^2(X);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos fala sobre uma variável aleatória $ X $ que representa o número de sinistros registrados por um segurado em determinado período. A gente precisa calcular a expectativa $ E[X] $ e a variância $ \sigma^{2}(X) $ dessa variável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade, especificamente distribuições discretas como a Poisson ou a Binomial. Vamos supor que a distribuição de $ X $ seja de Poisson, que é comum para contar eventos que ocorrem independentemente em um intervalo fixo de tempo ou espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a expectativa $ E[X] $. Ela nos dá o valor médio esperado de $ X $. Para uma distribuição de Poisson, a expectativa é igual ao parâmetro $ \lambda $, que representa a taxa média de ocorrência dos eventos.
Então, temos:
E[X]

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância $ \sigma^{2}(X) $. A variância nos mostra o quanto os valores de $ X $ se espalham em torno da média $ E[X] $. Para a distribuição de Poisson, a variância também é igual a $ \lambda $.
Ou seja:
sigma^2(X)

Passo 4

Mas e aí, como sabemos qual é o valor de $ \lambda $? O enunciado menciona que foi feito um amplo estudo dos registros de sinistros, então $ \lambda $ seria a média de ocorrências observadas nesse estudo. Se, por exemplo, foi observado em média 3 sinistros por período, então $ \lambda = 3 $.

Resposta

A expectativa $ E[X] $ e a variância $ \sigma^{2}(X) $ da variável aleatória $ X $ são ambas iguais a $ \lambda $:
E[X]
sigma^2(X)

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