Dado e=P2(t) o espaço vetorial de todos os polinomios de grau <=2, com coeficientes reais, sejam os polinomios P(t)=t_t2 e q(t)=1+t. considere ainda o espaço vetorial gerado s=[p(t), (q(t)]: Assinale a alternativa falsa a. S=E, pois qualquer polinomio de E pode ser escrito como combinação linear de p(t) e q(t). b. S diferente E porque dim S = 2 < dim E c. Os polinomios p(t) e q(t) são LI mas não geram E d. O polinomio r(t)=2t²-t-3 pertence a S e. O polinomio z(t)= t²+t+2 não pertence a S
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre espaços vetoriais, especificamente o espaço $ E = P_2(t) $, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais. Temos dois polinômios dados: $ P(t) = t^2 $ e $ Q(t) = 1 + t $. Além disso, consideramos o espaço vetorial gerado por esses polinômios, chamado $ S = span{P(t), Q(t)} $. Nosso objetivo é analisar as alternativas apresentadas e identificar qual delas é falsa.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que $ S $ é o espaço gerado por $ P(t) $ e $ Q(t) $. Isso quer dizer que qualquer polinômio em $ S $ pode ser escrito como uma combinação linear de $ P(t) $ e $ Q(t) $. Ou seja, para quaisquer escalares $ a $ e $ b $, temos:
Vamos verificar cada alternativa:
a. $ S = E $, pois qualquer polinômio de $ E $ pode ser escrito como combinação linear de $ P(t) $ e $ Q(t) $.
Para que $ S = E $, $ P(t) $ e $ Q(t) $ precisariam ser suficientes para gerar qualquer polinômio de grau até 2. Vamos ver se conseguimos representar, por exemplo, o polinômio $ t^2 + t + 1 $ usando $ P(t) $ e $ Q(t) $.
Vamos supor que exista $ a $ e $ b $ tais que:
Comparando coeficientes:
- Coeficiente de $ t^2 $: $ a = 1 $
- Coeficiente de $ t $: $ b = 1 $
- Termo constante: $ b = 1 $
Então, conseguimos expressar $ t^2 + t + 1 $ como $ 1 \cdot t^2 + 1 \cdot (1 + t) $. Portanto, a alternativa a é verdadeira.
b. $ S $ é diferente de $ E $ porque $ \dim S = 2 < \dim E $.
O espaço $ E = P_2(t) $ tem dimensão 3, já que temos os polinômios $ 1 $, $ t $ e $ t^2 $ como base. O espaço $ S $, sendo gerado por $ P(t) $ e $ Q(t) $, tem no máximo dimensão 2. Portanto, $ S $ não pode ser igual a $ E $, pois as dimensões são diferentes. A alternativa b está correta.
c. Os polinômios $ P(t) $ e $ Q(t) $ são linearmente independentes mas não geram $ E $.
Para verificar a independência linear, vemos se a única solução para $ a \cdot P(t) + b \cdot Q(t) = 0 $ é $ a = b = 0 $.
Isso implica:
- $ a = 0 $
- $ b = 0 $
Então, $ P(t) $ e $ Q(t) $ são de fato linearmente independentes. Além disso, já vimos que eles não geram todo $ E $ porque $ S $ tem dimensão 2 e $ E $ tem dimensão 3. Portanto, a alternativa c é verdadeira.
d. O polinômio $ r(t) = 2t^2 - t - 3 $ pertence a $ S $.
Vamos verificar se existe $ a $ e $ b $ tais que:
Comparando os coeficientes:
- $ a = 2 $ (coeficiente de $ t^2 $)
- $ b = -1 $ (coeficiente de $ t $)
- Estritamente, o termo constante: $ b = -3 $
Aqui, vemos que $ b $ teria que ser tanto
quanto
simultaneamente, o que é impossível. Portanto, $ r(t) $ não pertence a $ S $. Isso significa que a alternativa d é falsa.
e. O polinômio $ z(t) = t^2 + t + 2 $ não pertence a $ S $.
Vamos tentar expressar $ z(t) $ como uma combinação linear de $ P(t) $ e $ Q(t) $:
Comparando coeficientes:
- $ a = 1 $
- $ b = 1 $
- Termo constante: $ b = 2 $
Aqui, $ b $ teria que ser tanto 1 quanto 2, o que é impossível. Portanto, $ z(t) $ realmente não pertence a $ S $. A alternativa e é verdadeira.
Resposta
A alternativa d é falsa.