- Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com velocidade de 10 m/s, sua
altura (em metros) após t segundos é dada por H = 10t − 1, 86t²
.
a) Encontre a velocidade da pedra após um segundo.
b) Encontre a velocidade da pedra quando t = a.
c) Quando a pedra atinge a superfície?
d) Com que velocidade a pedra atinge a superfície?
altura (em metros) após t segundos é dada por H = 10t − 1, 86t²
.
a) Encontre a velocidade da pedra após um segundo.
b) Encontre a velocidade da pedra quando t = a.
c) Quando a pedra atinge a superfície?
d) Com que velocidade a pedra atinge a superfície?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma pedra lançada para cima no planeta Marte com uma velocidade inicial de 10 m/s. A altura da pedra após $ t $ segundos é dada pela fórmula:
Vamos usar conceitos de cinemática, especificamente de movimento uniformemente variado (MUV), para resolver as perguntas. Precisamos entender como calcular a velocidade a partir da posição e determinar o tempo e a velocidade quando a pedra atinge o solo novamente.
Passo 2
a) Encontrar a velocidade da pedra após um segundo.
Primeiro, sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função da altura $ H(t) $ para encontrar a função da velocidade $ V(t) $.
Derivando:
Agora, substituímos $ t = 1 $ segundo na fórmula da velocidade:
Passo 3
b) Encontrar a velocidade da pedra quando $ t = a $.
Aqui, $ a $ representa o momento em que a pedra atinge a superfície novamente, ou seja, quando a altura $ H = 0 $. Primeiro, vamos encontrar esse tempo $ a $ e depois calcular a velocidade nesse instante.
Passo 4
c) Quando a pedra atinge a superfície?
Para encontrar o tempo $ a $ quando a pedra atinge a superfície, resolvemos a equação $ H = 0 $:
Podemos fatorar $ a $:
Isso nos dá duas soluções:
- $ a = 0 $ segundos (momento do lançamento)
- $ 10 - 1,86a = 0 $ → $ a = \frac{10}{1,86} \approx 5,376 $ segundos
Então, o tempo $ a $ é aproximadamente 5,376 segundos.
Passo 5
b) Encontrar a velocidade da pedra quando $ t = a $.
Agora que sabemos que $ a \approx 5,376 $ segundos, vamos substituir esse valor na fórmula da velocidade:
A velocidade negativa indica que a pedra está descendo.
Passo 6
d) Com que velocidade a pedra atinge a superfície?
Conforme calculado no passo anterior, a velocidade da pedra ao atingir a superfície é -10 m/s. O sinal negativo mostra que a direção da velocidade é para baixo.
Resposta
Após seguir todos os passos, concluímos que:
a) A velocidade da pedra após 1 segundo é 6,28 m/s.
b) A velocidade da pedra quando $ t = a $ (aproximadamente 5,376 segundos) é -10 m/s.
c) A pedra atinge a superfície após aproximadamente 5,376 segundos.
d) A velocidade com que a pedra atinge a superfície é -10 m/s.