1. Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com velocidade de 10 m/s, sua
    altura (em metros) após t segundos é dada por H = 10t − 1, 86t²
    .
    a) Encontre a velocidade da pedra após um segundo.
    b) Encontre a velocidade da pedra quando t = a.
    c) Quando a pedra atinge a superfície?
    d) Com que velocidade a pedra atinge a superfície?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma pedra lançada para cima no planeta Marte com uma velocidade inicial de 10 m/s. A altura da pedra após $ t $ segundos é dada pela fórmula:
t
Vamos usar conceitos de cinemática, especificamente de movimento uniformemente variado (MUV), para resolver as perguntas. Precisamos entender como calcular a velocidade a partir da posição e determinar o tempo e a velocidade quando a pedra atinge o solo novamente.

Passo 2

a) Encontrar a velocidade da pedra após um segundo.
Primeiro, sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função da altura $ H(t) $ para encontrar a função da velocidade $ V(t) $.
H(t)
Derivando:
V(t)
V(t) = dHdt
Agora, substituímos $ t = 1 $ segundo na fórmula da velocidade:
V(t) = ddt(10t - 1,86t^2)
V(t) = 10 - 3,72t
t = 1

Passo 3

b) Encontrar a velocidade da pedra quando $ t = a $.
Aqui, $ a $ representa o momento em que a pedra atinge a superfície novamente, ou seja, quando a altura $ H = 0 $. Primeiro, vamos encontrar esse tempo $ a $ e depois calcular a velocidade nesse instante.

Passo 4

c) Quando a pedra atinge a superfície?
Para encontrar o tempo $ a $ quando a pedra atinge a superfície, resolvemos a equação $ H = 0 $:
a
Podemos fatorar $ a $:
H = 0
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ a = 0 $ segundos (momento do lançamento)
  2. $ 10 - 1,86a = 0 $ → $ a = \frac{10}{1,86} \approx 5,376 $ segundos
Então, o tempo $ a $ é aproximadamente 5,376 segundos.

Passo 5

b) Encontrar a velocidade da pedra quando $ t = a $.
Agora que sabemos que $ a \approx 5,376 $ segundos, vamos substituir esse valor na fórmula da velocidade:
t = a
a approx 5,376
V(a) = 10 - 3,72a
V(5,376) = 10 - 3,72 times 5,376
A velocidade negativa indica que a pedra está descendo.

Passo 6

d) Com que velocidade a pedra atinge a superfície?
Conforme calculado no passo anterior, a velocidade da pedra ao atingir a superfície é -10 m/s. O sinal negativo mostra que a direção da velocidade é para baixo.

Resposta

Após seguir todos os passos, concluímos que:
a) A velocidade da pedra após 1 segundo é 6,28 m/s.
b) A velocidade da pedra quando $ t = a $ (aproximadamente 5,376 segundos) é -10 m/s.
c) A pedra atinge a superfície após aproximadamente 5,376 segundos.
d) A velocidade com que a pedra atinge a superfície é -10 m/s.

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