Se num dado instante t a energia armazenada no campo elétrico num circuito LC for 1/3 da energia armazenada no campo magnético, a razão entre a carga elétrica nesse instante
e a carga elétrica máxima no capacitor durante um ciclo vale:
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( ) 1
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um circuito LC, que é um circuito que tem um indutor (L) e um capacitor ©. A gente sabe que nesse tipo de circuito, a energia oscila entre o campo elétrico do capacitor e o campo magnético do indutor. Aqui, foi dado que, em um certo instante $ t $, a energia armazenada no campo elétrico é $ \frac{1}{3} $ da energia armazenada no campo magnético. Nosso objetivo é descobrir a razão entre a carga elétrica nesse instante $ t $ e a carga elétrica máxima que o capacitor atinge durante um ciclo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como se calculam as energias no campo elétrico e no campo magnético em um circuito LC:
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Energia no campo elétrico ($ U_E $):Onde $ C $ é a capacitância e $ V $ é a diferença de potencial no capacitor.
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Energia no campo magnético ($ U_B $):Onde $ L $ é a indutância e $ I $ é a corrente no indutor.
No circuito LC, a energia total é constante e oscila entre essas duas formas.
Passo 3
Sabemos que a carga no capacitor varia com o tempo, e a carga elétrica máxima no capacitor durante o ciclo é $ Q_{max} $. A corrente $ I $ está relacionada à variação da carga com o tempo:
Mas para simplificar, podemos expressar as energias em termos da carga $ Q $ e $ Q_{max} $.
Passo 4
Vamos reescrever as expressões de energia usando a carga $ Q $:
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Energia no campo elétrico:
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Energia no campo magnético:
Como $ I = \frac{dQ}{dt} $, e sabemos que, para oscilações harmônicas, $ Q = Q_{max} \cos(\omega t) $, onde $ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} $ é a frequência angular.
Assim, a corrente fica:
Portanto, a energia no campo magnético fica:
Passo 5
De acordo com o enunciado, no instante $ t $:
Substituindo as expressões das energias:
Simplificando $ \frac{1}{2C} $ dos dois lados:
Passo 6
Queremos encontrar a razão $ \frac{Q}{Q_{max}} $. Para isso, vamos resolver a equação acima:
Dividindo ambos os lados por $ Q_{max}^2 $:
Tirando a raiz quadrada:
Agora, para encontrar o valor máximo de $ \sin(\omega t) $, que é 1, teremos:
Resposta
A razão entre a carga elétrica nesse instante $ t $ e a carga elétrica máxima no capacitor durante um ciclo vale:
Entre as opções disponíveis, a mais próxima é $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Portanto, a resposta correta é:
( ) $ \frac{\sqrt{3}}{2} $