Considere uma montagem retangular de barras condutoras por onde passa uma corrente constante . Nesta montagem, a barra é móvel, possui massa m, comprimento l e está inicialmente em repouso. Se introduzirmos um campo B=c t k, sendo t o tempo, qual a velocidade adquirida pela barra em função do tempo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma montagem retangular com barras condutoras que transportam uma corrente constante $ i $. A barra $ \overline{AB} $ é móvel, tem massa $ m $, comprimento $ l $ e começa parada. Foi introduzido um campo magnético que varia no tempo, dado por $ \mathbf{B} = c t , \hat{\mathbf{k}} $, onde $ t $ é o tempo. Nosso objetivo é descobrir qual a velocidade que a barra $ \overline{AB} $ adquire em função do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força magnética sobre uma corrente em um campo magnético e a segunda lei de Newton para relacionar força, massa e aceleração. Também vamos considerar que o campo magnético está mudando com o tempo, o que pode influenciar a força na barra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a força magnética que atua na barra $ \overline{AB} $. A força magnética $ \mathbf{F} $ em um condutor com corrente $ i $ colocado em um campo magnético $ \mathbf{B} $ é dada pela fórmula:
AB
Onde $ \mathbf{L} $ é o vetor comprimento da barra na direção da corrente.
Passo 3
Vamos determinar a direção da força. Supondo que a corrente $ i $ percorre a barra $ \overline{AB} $ ao longo do eixo $ \hat{\mathbf{i}} $ (eixo x), e o campo magnético $ \mathbf{B} $ está ao longo de $ \hat{\mathbf{k}} $ (eixo z). O produto vetorial $ \mathbf{L} \times \mathbf{B} $ então fica:
i
Sabemos que $ \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{k}} = -\hat{\mathbf{j}} $, então:
AB
A força atua na direção $ -\hat{\mathbf{j}} $ (eixo y negativo).
Passo 4
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton, que relaciona a força $ \mathbf{F} $ à massa $ m $ e à aceleração $ \mathbf{a} $:
F
Como a força está na direção y, podemos escrever:
m
Portanto, a aceleração na direção y é:
a
Passo 5
A aceleração $ a_y $ é a derivada da velocidade $ v_y $ em relação ao tempo $ t $. Para encontrar a velocidade, integramos a aceleração:
ay
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
vy
Onde $ C $ é a constante de integração. Como a barra começa do repouso, $ v_y(0) = 0 $, logo $ C = 0 $.
Passo 6
Portanto, a velocidade da barra $ \overline{AB} $ em função do tempo $ t $ é:
AB
Resposta
A velocidade adquirida pela barra em função do tempo é