Sejam
um número racional e
um número irracional. Prove que, se
é racional, então
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos dois números:
, que é racional, e
, que é irracional. A questão quer que a gente prove que, se o produto
é racional, então necessariamente
precisa ser igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de números racionais e irracionais, além de propriedades básicas de multiplicação desses números.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um número ser racional ou irracional. Um número racional pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
não é zero. Já um número irracional não pode ser expresso como uma fração simples; ele tem uma representação decimal que não termina nem se repete, como
ou
.
Passo 3
Agora, vamos supor que
não seja zero, ou seja,
. Como
é racional, podemos escrevê-lo como
, onde
e
são inteiros e
. O produto
seria então
.
Passo 4
Se
é racional, então podemos escrever
, onde
é um número racional. Resolvendo para
, temos
. Mas
e
são ambos inteiros (já que
é racional e
e
também), o que significa que
seria a razão de dois inteiros, ou seja, um número racional. Isso entra em contradição com a informação inicial de que
é irracional.
Resposta
Portanto, nossa suposição de que
leva a uma contradição. Logo, a única possibilidade viável é que
.