Sejam a um número racional e b um número irracional. Prove que, se a * b é racional, então a = 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos pedindo. Temos dois números: , que é racional, e , que é irracional. A questão quer que a gente prove que, se o produto é racional, então necessariamente precisa ser igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de números racionais e irracionais, além de propriedades básicas de multiplicação desses números.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um número ser racional ou irracional. Um número racional pode ser escrito como uma fração , onde e são inteiros e não é zero. Já um número irracional não pode ser expresso como uma fração simples; ele tem uma representação decimal que não termina nem se repete, como ou .

Passo 3

Agora, vamos supor que não seja zero, ou seja, . Como é racional, podemos escrevê-lo como , onde e são inteiros e . O produto seria então .

Passo 4

Se é racional, então podemos escrever , onde é um número racional. Resolvendo para , temos . Mas e são ambos inteiros (já que é racional e e também), o que significa que seria a razão de dois inteiros, ou seja, um número racional. Isso entra em contradição com a informação inicial de que é irracional.

Resposta

Portanto, nossa suposição de que leva a uma contradição. Logo, a única possibilidade viável é que .

Exercícios relacionados