Um dado é jogado. Considere sucesso cair face 5. Determine E(X) e V(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente vai jogar um dado e considerar que “sucesso” é tirar a face 5. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor esperado, representado por $ E(X) $, e a variância, que é $ V(X) $, dessa situação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente da distribuição de Bernoulli, que é usada para eventos que têm dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa valor esperado $ E(X) $. O valor esperado é basicamente a média que esperamos obter se repetirmos o experimento muitas vezes. No nosso caso, a chance de sucesso (tirar 5) em um lançamento de dado é de $ \frac{1}{6} $, já que o dado tem 6 faces e apenas uma delas é a 5.
Então, se definirmos $ X $ como uma variável aleatória que vale 1 se der 5 e 0 caso contrário, temos:
E(X)

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $. A fórmula para o valor esperado de uma variável de Bernoulli é:
E(X)
Substituindo os valores:
E(X) = (1) times P(X=1) + (0) times P(X=0)
Então, o valor esperado é $ \frac{1}{6} $.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a variância $ V(X) $. A variância mede o quanto os resultados podem variar em relação ao valor esperado. Para uma variável de Bernoulli, a fórmula da variância é:
V(X)
Substituindo os valores:
V(X) = P(X=1) times (1 - P(X=1))
Portanto, a variância é $ \frac{5}{36} $.

Resposta

O valor esperado $ E(X) $ é $ \frac{1}{6} $ e a variância $ V(X) $ é $ \frac{5}{36} $.

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