Um dado é jogado. Considere sucesso cair face 5. Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente vai jogar um dado e considerar que “sucesso” é tirar a face 5. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor esperado, representado por $ E(X) $, e a variância, que é $ V(X) $, dessa situação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente da distribuição de Bernoulli, que é usada para eventos que têm dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa valor esperado $ E(X) $. O valor esperado é basicamente a média que esperamos obter se repetirmos o experimento muitas vezes. No nosso caso, a chance de sucesso (tirar 5) em um lançamento de dado é de $ \frac{1}{6} $, já que o dado tem 6 faces e apenas uma delas é a 5.
Então, se definirmos $ X $ como uma variável aleatória que vale 1 se der 5 e 0 caso contrário, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $. A fórmula para o valor esperado de uma variável de Bernoulli é:
Substituindo os valores:
Então, o valor esperado é $ \frac{1}{6} $.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a variância $ V(X) $. A variância mede o quanto os resultados podem variar em relação ao valor esperado. Para uma variável de Bernoulli, a fórmula da variância é:
Substituindo os valores:
Portanto, a variância é $ \frac{5}{36} $.
Resposta
O valor esperado $ E(X) $ é $ \frac{1}{6} $ e a variância $ V(X) $ é $ \frac{5}{36} $.