Determine as constantes
e
, para que a função
seja a função de distribuição de alguma v.a. contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as constantes $ a $ e $ b $ de modo que a função $ G(x) $ seja uma função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória contínua. Isso significa que $ G(x) $ precisa obedecer a algumas propriedades básicas das CDFs, como ser crescente, contínua, começar em 0 e terminar em 1. Para isso, vamos analisar cada pedaço da função $ G(x) $ e garantir que todas essas condições sejam atendidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para $ G(x) $ ser uma CDF válida, ela deve satisfazer que:
- $ \lim_{x \to -\infty} G(x) = 0 $
- $ \lim_{x \to +\infty} G(x) = 1 $
Dando uma olhada na definição de $ G(x) $:
Para $ x < 0 $, $ G(x) = a - 2b $. Como $ \lim_{x \to -\infty} G(x) $ deve ser 0, temos:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 3
Agora, vamos garantir que $ G(x) $ seja contínua nos pontos onde muda de expressão, ou seja, em $ x = 0 $, $ x = 1 $ e $ x = 2 $.
Em $ x = 0 $:
Como $ G(x) $ deve ser contínua em $ x = 0 $:
Em $ x = 1 $:
Aqui, a função já é contínua, não nos dá novas informações.
Em $ x = 2 $:
Para ser contínua em $ x = 2 $:
Agora temos a segunda equação:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações que encontramos:
Substituindo $ a = 2b $ na segunda equação:
Agora, substituindo $ b = \frac{1}{3} $ na primeira equação:
Resposta
As constantes são $ a = \dfrac{2}{3} $ e $ b = \dfrac{1}{3} $.