Determine as constantes a e b, para que a função G(x) seja a função de distribuição de alguma v.a. contínua.
G(x)= a-2 b, & x<0 a x, & 0 <= x<1 a+b(x-1), & 1 <= x<2 1, & x >= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as constantes $ a $ e $ b $ de modo que a função $ G(x) $ seja uma função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória contínua. Isso significa que $ G(x) $ precisa obedecer a algumas propriedades básicas das CDFs, como ser crescente, contínua, começar em 0 e terminar em 1. Para isso, vamos analisar cada pedaço da função $ G(x) $ e garantir que todas essas condições sejam atendidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para $ G(x) $ ser uma CDF válida, ela deve satisfazer que:
  1. $ \lim_{x \to -\infty} G(x) = 0 $
  2. $ \lim_{x \to +\infty} G(x) = 1 $
Dando uma olhada na definição de $ G(x) $:
G(x)
Para $ x < 0 $, $ G(x) = a - 2b $. Como $ \lim_{x \to -\infty} G(x) $ deve ser 0, temos:
limx to -infty G(x) = 0
Isso nos dá a primeira equação:
limx to +infty G(x) = 1

Passo 3

Agora, vamos garantir que $ G(x) $ seja contínua nos pontos onde muda de expressão, ou seja, em $ x = 0 $, $ x = 1 $ e $ x = 2 $.
Em $ x = 0 $:
G(x)
x = 0
Como $ G(x) $ deve ser contínua em $ x = 0 $:
x = 1 áçã
Em $ x = 1 $:
x = 2
x = 0
Aqui, a função já é contínua, não nos dá novas informações.
Em $ x = 2 $:
limx to 0^- G(x) = a - 2b
limx to 0^+ G(x) = a cdot 0 = 0
Para ser contínua em $ x = 2 $:
G(x)
Agora temos a segunda equação:
x = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações que encontramos:
a = 2b a + b = 1
Substituindo $ a = 2b $ na segunda equação:
a = 2b
Agora, substituindo $ b = \frac{1}{3} $ na primeira equação:
2b + b = 1 implies 3b = 1 implies b = 13

Resposta

As constantes são $ a = \dfrac{2}{3} $ e $ b = \dfrac{1}{3} $.

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