Um psicólogo industrial aplicou um teste de personalidade para identificar características passivo-agressivas em 150 colaboradores. Os indivíduos recebiam uma pontuação de 1 a 5 , sendo 1 extremamente passivo e 5 extremamente agressivo. Uma pontuação 3 não indicava nenhuma das duas características. Os resultados estão indicados na Tabela abaixo. Construa uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória. Na sequência, determine a Esperança, a variância e o desvio padrão.
Distribuição de frequência dos resultados de um teste de personalidade.
Distribuição de frequência dos resultados de um teste de personalidade.
Pontuação,
|
Frequência,
|
---|---|
1 | 24 |
2 | 33 |
3 | 42 |
4 | 30 |
5 | 21 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística! A gente tem uma tabela com as frequências das pontuações de um teste de personalidade aplicado a 150 colaboradores. Nosso objetivo é construir uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória (a pontuação no teste), e depois calcular a esperança (que é o valor médio esperado), a variância e o desvio padrão dessa distribuição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição de probabilidade e as fórmulas para esperança, variância e desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a distribuição de probabilidade. A distribuição de probabilidade mostra a chance de cada resultado ocorrer. Para isso, a gente divide a frequência de cada pontuação pelo total de observações.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de cada pontuação:
Onde $ f $ é a frequência da pontuação e $ N $ é o total de colaboradores (150).
Passo 4
Aplicando a fórmula:
- Para $ x = 1 $:
- Para $ x = 2 $:
- Para $ x = 3 $:
- Para $ x = 4 $:
- Para $ x = 5 $:
Passo 5
Agora, temos a distribuição de probabilidade:
Pontuação, $ x $ | Frequência, $ f $ | Probabilidade, $ P(x) $ |
---|---|---|
1 | 24 | 0,16 |
2 | 33 | 0,22 |
3 | 42 | 0,28 |
4 | 30 | 0,20 |
5 | 21 | 0,14 |
Passo 6
Vamos calcular a Esperança (ou Valor Esperado), que é uma média ponderada das possíveis pontuações, usando as probabilidades como pesos. A fórmula é:
Passo 7
Calculando cada termo:
Passo 8
Agora, vamos calcular a Variância, que mede a dispersão dos valores em relação à esperança. A fórmula é:
Primeiro, vamos calcular cada
:
- Para $ x = 1 $:
- Para $ x = 2 $:
- Para $ x = 3 $:
- Para $ x = 4 $:
- Para $ x = 5 $:
Passo 9
Somando todos esses valores:
Passo 10
Finalmente, o Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
Distribuição de Probabilidade:
Pontuação, $ x $ | Probabilidade, $ P(x) $ |
---|---|
1 | 0,16 |
2 | 0,22 |
3 | 0,28 |
4 | 0,20 |
5 | 0,14 |
Esperança: $ E(X) = 3,0 $
Variância: $ Var(X) = 1,62 $
Desvio Padrão: $ DP \approx 1,27 $