Um psicólogo industrial aplicou um teste de personalidade para identificar características passivo-agressivas em 150 colaboradores. Os indivíduos recebiam uma pontuação de 1 a 5 , sendo 1 extremamente passivo e 5 extremamente agressivo. Uma pontuação 3 não indicava nenhuma das duas características. Os resultados estão indicados na Tabela abaixo. Construa uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória. Na sequência, determine a Esperança, a variância e o desvio padrão.
Distribuição de frequência dos resultados de um teste de personalidade.
Pontuação, x Frequência, f
1 24
2 33
3 42
4 30
5 21

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística! A gente tem uma tabela com as frequências das pontuações de um teste de personalidade aplicado a 150 colaboradores. Nosso objetivo é construir uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória (a pontuação no teste), e depois calcular a esperança (que é o valor médio esperado), a variância e o desvio padrão dessa distribuição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição de probabilidade e as fórmulas para esperança, variância e desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a distribuição de probabilidade. A distribuição de probabilidade mostra a chance de cada resultado ocorrer. Para isso, a gente divide a frequência de cada pontuação pelo total de observações.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de cada pontuação:
P(x) = fN
Onde $ f $ é a frequência da pontuação e $ N $ é o total de colaboradores (150).

Passo 4

Aplicando a fórmula:
  • Para $ x = 1 $:
x = 1
  • Para $ x = 2 $:
P(1) = 24150 = 0,16
  • Para $ x = 3 $:
x = 2
  • Para $ x = 4 $:
P(2) = 33150 = 0,22
  • Para $ x = 5 $:
x = 3

Passo 5

Agora, temos a distribuição de probabilidade:
Pontuação, $ x $ Frequência, $ f $ Probabilidade, $ P(x) $
1 24 0,16
2 33 0,22
3 42 0,28
4 30 0,20
5 21 0,14

Passo 6

Vamos calcular a Esperança (ou Valor Esperado), que é uma média ponderada das possíveis pontuações, usando as probabilidades como pesos. A fórmula é:
E(X) = sumi xi cdot P(xi)

Passo 7

Calculando cada termo:
E(X) = (1 cdot 0,16) + (2 cdot 0,22) + (3 cdot 0,28) + (4 cdot 0,20) + (5 cdot 0,14)
E(X) = 0,16 + 0,44 + 0,84 + 0,80 + 0,70 = 3,0

Passo 8

Agora, vamos calcular a Variância, que mede a dispersão dos valores em relação à esperança. A fórmula é:
Var(X) = sumi (xi - E(X))^2 cdot P(xi)
Primeiro, vamos calcular cada (xi - E(X))^2 cdot P(xi):
  • Para $ x = 1 $:
x = 1
  • Para $ x = 2 $:
(1 - 3)^2 cdot 0,16 = 4 cdot 0,16 = 0,64
  • Para $ x = 3 $:
x = 2
  • Para $ x = 4 $:
(2 - 3)^2 cdot 0,22 = 1 cdot 0,22 = 0,22
  • Para $ x = 5 $:
x = 3

Passo 9

Somando todos esses valores:
Var(X) = 0,64 + 0,22 + 0 + 0,20 + 0,56 = 1,62

Passo 10

Finalmente, o Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância:
DP = raizVar(X) = raiz1,62 approx 1,27

Resposta

Distribuição de Probabilidade:
Pontuação, $ x $ Probabilidade, $ P(x) $
1 0,16
2 0,22
3 0,28
4 0,20
5 0,14
Esperança: $ E(X) = 3,0 $
Variância: $ Var(X) = 1,62 $
Desvio Padrão: $ DP \approx 1,27 $

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