Dado que
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
(e)
(e)
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos três funções
,
e
com os seguintes limites quando
se aproxima de 2:
A questão é encontrar o limite da razão
quando
se aproxima de 2. Vamos usar o conteúdo de limites e regras para limites de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar o limite de uma função. O limite de uma função
é o valor que
se aproxima conforme
se aproxima de
.
No nosso caso, queremos encontrar:
Passo 3
Vamos lembrar da regra para o limite do quociente de duas funções. Se temos duas funções
e
, então:
Desde que
. Ou seja, podemos dividir os limites se o denominador não for zero.
Passo 4
Aplicando essa regra ao nosso caso:
- Sabemos que
- E
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, precisamos analisar o que significa dividir um número finito por zero. Em matemática, a divisão por zero não é definida. Isso nos indica que o limite não existe de forma finita. Em alguns casos, podemos dizer que o limite tende para
ou
, mas isso depende do comportamento das funções em torno do ponto.
No nosso caso, como o numerador é uma constante não nula e o denominador tende para zero, isso sugere que o limite não existe no sentido tradicional.
Resposta
O limite não existe porque o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor diferente de zero.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Em cada item abaixo, determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
.
e
Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine:
Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine: