Dado que
lim x 2 f(x)=4 lim x 2 g(x)=-2 lim x 2 h(x)=0
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
(e) lim x 2 g(x)h(x)

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos três funções lim x 2 f(x)=4, lim x 2 g(x)=-2, lim x 2 h(x)=0 , e com os seguintes limites quando se aproxima de 2:
A questão é encontrar o limite da razão quando se aproxima de 2. Vamos usar o conteúdo de limites e regras para limites de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar o limite de uma função. O limite de uma função lim x 2 g(x)h(x) é o valor que se aproxima conforme se aproxima de .
No nosso caso, queremos encontrar:

Passo 3

Vamos lembrar da regra para o limite do quociente de duas funções. Se temos duas funções lim x a g(x)h(x) = lim x a g(x)lim x a h(x) e , então:
Desde que . Ou seja, podemos dividir os limites se o denominador não for zero.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso caso:
  • Sabemos que lim x 2 g(x)h(x) = -20
  • E
Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos analisar o que significa dividir um número finito por zero. Em matemática, a divisão por zero não é definida. Isso nos indica que o limite não existe de forma finita. Em alguns casos, podemos dizer que o limite tende para ou , mas isso depende do comportamento das funções em torno do ponto.
No nosso caso, como o numerador é uma constante não nula e o denominador tende para zero, isso sugere que o limite não existe no sentido tradicional.

Resposta

O limite não existe porque o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor diferente de zero.

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