Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula. g(x) = x / (x^2 + 1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente ao cálculo de derivadas de funções racionais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente, que é uma das ferramentas que aprendemos para derivar funções que são o quociente de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra do quociente. Essa regra nos ajuda a encontrar a derivada de uma função que é uma fração de duas outras funções. Se temos uma função , a derivada dela é dada por:
Ou seja, a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo isso dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 3

No nosso caso, . Vamos identificar e :
Agora, vamos encontrar as derivadas de e :
é
éé

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 5

Podemos também expressar a derivada de forma um pouco mais organizada:
Essa é a derivada simplificada de .

Resposta

A derivada de é:

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