Dado que ao menos 1 dos estudantes esteja presente na aula um certo dia qual é a probabilidade que A esteja presente nesse dia?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A pergunta é: “Dado que ao menos 1 dos estudantes esteja presente na aula em um certo dia, qual é a probabilidade de que o estudante A esteja presente nesse dia?”
Estamos trabalhando com probabilidade condicional, que é quando queremos saber a chance de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade condicional e como calcular a probabilidade de eventos dependentes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossos eventos:
  • Evento A: O estudante A está presente na aula.
  • Evento B: Ao menos um estudante está presente na aula.
Queremos encontrar a probabilidade de A estar presente dado que B aconteceu, ou seja, $ P(A \mid B) $.

Passo 3

A fórmula para probabilidade condicional é:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
Aqui, $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de A estar presente e ao menos um estudante estar presente. Mas como se A está presente, isso automaticamente garante que pelo menos um estudante está presente. Então, $ P(A \cap B) = P(A) $.

Passo 4

Agora, precisamos calcular $ P(B) $, que é a probabilidade de pelo menos um estudante estar presente. Se considerarmos que existem $ n $ estudantes na aula e que cada um tem uma probabilidade $ p $ de estar presente independentemente dos outros, então:
P(B) á
Isso porque $ (1 - p)^n $ é a probabilidade de todos os estudantes estarem ausentes.

Passo 5

Substituindo $ P(A \cap B) $ e $ P(B) $ na fórmula da probabilidade condicional, temos:
P(A cap B)
Essa é a probabilidade de que o estudante A esteja presente dado que pelo menos um estudante está presente na aula.

Resposta

A probabilidade de que o estudante A esteja presente na aula, dado que pelo menos um estudante está presente, é:
P(A mid B) = P(A)1 - (1 - p)^n

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