Dado P(A)=12, P(B)=13, P(A cap B)=14. Calcular:
(a) P(A cup B)
(b) P(A mid B)
© P(B mid A)
(d) P((A cup B) mid B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três probabilidades: , e . A matéria que estamos trabalhando aqui é a probabilidade, especificamente operações com eventos como união e probabilidade condicional. Para resolver as questões, vamos precisar usar as fórmulas de união de eventos e de probabilidade condicional.

Passo 2

(a) Calcular P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade da união de dois eventos P(A cup B) = 12 + 13 - 14 e P(A cup B) = 612 + 412 - 312 = 712 é dada por:
Isso evita contar duas vezes a interseção . Agora, basta substituir os valores:
Vamos encontrar um denominador comum, que é 12:

Passo 3

(b) Calcular P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
A probabilidade condicional P(A mid B) = 1413 = 14 times 31 = 34 representa a probabilidade de ocorrer dado que já ocorreu. A fórmula é:
Substituindo os valores:

Passo 4

© Calcular P(B mid A) = P(A cap B)P(A)
Da mesma forma, P(B mid A) = 1412 = 14 times 21 = 12 é a probabilidade de ocorrer dado que já ocorreu. Usamos:
Substituindo:

Passo 5

(d) Calcular P((A cup B) mid B) = 1
Aqui queremos a probabilidade de acontecer dado que já aconteceu. Mas, se já aconteceu, então certamente aconteceu também, porque está incluído na união. Portanto:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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