Se P(A cup B)=0,8, P(A)=0,5 e P(B)=x, determine o valor de x no caso de
(a) A e B serem mutuamente exclusivos.
(b) A e B serem independentes.
R (a) x=0,3,(b) x=0,6

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de probabilidade juntos! A questão fala sobre a união de dois eventos, e . A gente sabe que , e . Precisamos encontrar o valor de em dois casos diferentes:
a) Quando e são mutuamente exclusivos.
b) Quando e são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B) e P(A cup B) = P(A) + P(B) serem mutuamente exclusivos. Isso quer dizer que os eventos não podem acontecer ao mesmo tempo, ou seja, .
A fórmula da união de dois eventos é:
Como , a fórmula fica:

Passo 3

Agora, substituímos os valores que temos na fórmula:
0,8 = 0,5 + x
Para encontrar x = 0,8 - 0,5 = 0,3 , basta isolar ele na equação:

Passo 4

Então, quando e são mutuamente exclusivos, o valor de é 0,3.

Passo 5

Agora, vamos para o segundo caso onde P(A cap B) = P(A) cdot P(B) e são independentes. Ser independentes significa que a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro, ou seja:

Passo 6

Voltando à fórmula da união:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Substituímos 0,8 = 0,5 + x - (0,5 cdot x) por :

Passo 7

Agora, vamos resolver para 0,8 = 0,5 + x - 0,5x :
0,8 - 0,5 = x - 0,5x
0,3 = 0,5x
x = 0,30,5 = 0,6

Resposta

a)
b)

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