Um projétil deve ser lançado do solo de tal modo que seu alcance seja igual a 300 m e sua altura máxima seja igual a 125 m . Calcule o módulo da velocidade inicial e o ângulo que ela faz com a horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um projétil que precisa ser lançado do chão de forma que ele viaje 300 metros de distância (alcance) e atinja uma altura máxima de 125 metros. Vamos usar as fórmulas de movimento de projéteis para calcular a velocidade inicial e o ângulo que ele faz com o chão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que governam o movimento do projétil. A altura máxima ($ H
R $) são dadas por:
Onde:
- $ v_0 $ é a velocidade inicial,
- $ \theta $ é o ângulo de lançamento,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $).
Passo 3
A gente tem duas equações e duas incógnitas ($ v_0 $ e $ \theta $). Podemos usar uma das equações para expressar uma variável em termos da outra. Vamos dividir a equação do alcance pela da altura máxima para facilitar:
Passo 4
Simplificando a expressão trigonométrica $ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) $, temos:
Portanto:
Passo 5
Substituindo os valores dados ($ R = 300 , m $ e $ H = 125 , m $) na equação acima:
Passo 6
Isolando $ \cot(\theta) $:
Passo 7
Sabemos que $ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $. Mas é mais fácil usar a inversa para encontrar o ângulo $ \theta $:
Passo 8
Agora que temos o ângulo, vamos usar a fórmula da altura máxima para encontrar a velocidade inicial $ v_0 $:
Passo 9
Substituindo os valores:
Sabendo que $ \sin(53,13^\circ) \approx 0,8 $:
Resposta
A velocidade inicial do projétil é aproximadamente 61,9 m/s e o ângulo de lançamento é cerca de 53,13° com a horizontal.