Um projétil deve ser lançado do solo de tal modo que seu alcance seja igual a 300 m e sua altura máxima seja igual a 125 m . Calcule o módulo da velocidade inicial e o ângulo que ela faz com a horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um projétil que precisa ser lançado do chão de forma que ele viaje 300 metros de distância (alcance) e atinja uma altura máxima de 125 metros. Vamos usar as fórmulas de movimento de projéteis para calcular a velocidade inicial e o ângulo que ele faz com o chão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que governam o movimento do projétil. A altura máxima ($ H H R $) são dadas por:
R
H = v0^2 sin^2(theta)2g
Onde:
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial,
  • $ \theta $ é o ângulo de lançamento,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $).

Passo 3

A gente tem duas equações e duas incógnitas ($ v_0 $ e $ \theta $). Podemos usar uma das equações para expressar uma variável em termos da outra. Vamos dividir a equação do alcance pela da altura máxima para facilitar:
v0

Passo 4

Simplificando a expressão trigonométrica $ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) $, temos:
sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta)
Portanto:
RH = 2 cdot 2 sin(theta) cos(theta)sin^2(theta) = 4 cos(theta)sin(theta)

Passo 5

Substituindo os valores dados ($ R = 300 , m $ e $ H = 125 , m $) na equação acima:
R = 300 , m

Passo 6

Isolando $ \cot(\theta) $:
cot(theta)

Passo 7

Sabemos que $ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $. Mas é mais fácil usar a inversa para encontrar o ângulo $ \theta $:

Passo 8

Agora que temos o ângulo, vamos usar a fórmula da altura máxima para encontrar a velocidade inicial $ v_0 $:
v0

Passo 9

Substituindo os valores:
v0 = raiz2 times 9,8 times 125sin^2(53,13^circ)
Sabendo que $ \sin(53,13^\circ) \approx 0,8 $:
sin(53,13^circ) approx 0,8

Resposta

A velocidade inicial do projétil é aproximadamente 61,9 m/s e o ângulo de lançamento é cerca de 53,13° com a horizontal.

Exercícios relacionados