Dado um plano (sigma) definido pelas retas concorrentes (A)(B) e (B)©, determine a reta (M)(N) do plano, considerando:
(A) [0 ;-1 ; 0] ;
(B) [-2 ;-5 ;-3];
© [-5 ;-1 ;-2];
(M) [2 ;-4 ; ?];
(N) [-6 ;-2 ; ?].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de geometria analítica no espaço. A gente precisa encontrar as coordenadas faltantes dos pontos M e N para que a reta que une M e N esteja no mesmo plano definido pelas retas concorrentes (A)(B) e (B)©. Vamos usar conceitos de vetores e equações de planos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos que já temos:
Nosso objetivo é encontrar as coordenadas z de M e N.

Passo 3

Para encontrar o plano AB = B - A = [-2 - 0; -5 - (-1); -3 - 0] = [-2; -4; -3] definido pelos pontos A, B e C, precisamos primeiro encontrar dois vetores que pertencem a esse plano. Vamos calcular os vetores AC = C - A = [-5 - 0; -1 - (-1); -2 - 0] = [-5; 0; -2] e :

Passo 4

Com esses dois vetores, podemos encontrar o vetor normal ao plano n = AB times AC = i & j & k -2 & -4 & -3 -5 & 0 & -2 fazendo o produto vetorial n = i((-4)(-2) - (-3)(0)) - j((-2)(-2) - (-3)(-5)) + k((-2)(0) - (-4)(-5)) :
n = i(8 - 0) - j(4 - 15) + k(0 - 20)
Calculando o determinante:
n = 8i + 11j - 20k
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 5

Com o vetor normal, podemos escrever a equação geral do plano 8(x - 0) + 11(y - (-1)) - 20(z - 0) = 0 usando o ponto A:
8x + 11(y + 1) - 20z = 0
Simplificando:
8x + 11y + 11 - 20z = 0
8x + 11y - 20z = -11
8x + 11y - 20z = -11
Então, a equação do plano é:

Passo 6

Agora, precisamos garantir que os pontos M e N estejam nesse plano. Vamos substituir as coordenadas conhecidas de M e N na equação do plano para encontrar as coordenadas z faltantes.
Para o ponto M 8(2) + 11(-4) - 20zM = -11 :
16 - 44 - 20zM = -11
-28 - 20zM = -11
-20zM = 17
zM = -1720
8(-6) + 11(-2) - 20zN = -11
Para o ponto N -48 - 22 - 20zN = -11 :
-70 - 20zN = -11
-20zN = 59
zN = -5920

Resposta

As coordenadas faltantes são:
M = [2; -4; -1720]
N = [-6; -2; -5920]

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