Esses três pontos estão no espaço 3D e formam duas retas que se cruzam no ponto A, definindo assim um plano. Nosso objetivo é achar a reta dentro desse plano que desce o mais rapidamente possível, ou seja, a reta com o máximo declive.
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, calculamos o produto vetorial desses dois vetores:
Calculando cada componente:
Componente i: ( -4 + 6 ) = 2
Componente j: (1 - 6) = -5
Componente k: (-3 + 12) = 9
Portanto, o vetor normal é n = (2, -5, 9).
Passo 4
Agora que temos o vetor normal ao plano, podemos determinar a direção da reta de máximo declive. Essa reta corresponde à direção em que a projeção da força da gravidade (que agiria na direção negativa do eixo z, ou seja, (0, 0, -1)) é mais inclinada no plano.
Para encontrar isso, vamos projetar o vetor (0, 0, -1) no plano definido pelo vetor normal n. A fórmula para a projeção de um vetor a sobre um vetor b é:
Projb a = a cdot bb cdot b b
No nosso caso, queremos a projeção de (0, 0, -1) no plano, que é dado por:
d = a - Projn a
Onde a = (0, 0, -1).
Calculando a projeção:
Projn a = (0)(2) + (0)(-5) + (-1)(9)2^2 + (-5)^2 + 9^2 n = -94 + 25 + 81 n = -9110 (2, -5, 9)
Podemos simplificar os coeficientes dividindo por 1:
d = ( 955, -922, -29110 )
Passo 5
Agora que temos o vetor direção d da reta de máximo declive, queremos encontrar as equações paramétricas dessa reta no plano. Sabemos que a reta passa pelo ponto A (0, -4, -1) e tem direção d = ( 955, -922, -29110 ).