Determine as projeções de uma reta de máximo declive de um plano definido por duas retas concorrentes (A)(B) e (A)©, sem determinar os traços do plano. Considere:
(A) [0 ;-4 ;-1]
(B) [-1 ; 0 ;-3] ; e
© [-3 ;-1 ;-2].

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A questão pede para determinar as projeções de uma reta que tem o máximo declive em um plano. Esse plano é definido por duas retas que se encontram no ponto A, ou seja, pelas retas (A)(B) e (A)©. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, planos e projeções no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que definem as retas (A)(B) e (A)©:
  • Ponto A: (0, -4, -1)
  • Ponto B: (-1, 0, -3)
  • Ponto C: (-3, -1, -2)
Esses três pontos estão no espaço 3D e formam duas retas que se cruzam no ponto A, definindo assim um plano. Nosso objetivo é achar a reta dentro desse plano que desce o mais rapidamente possível, ou seja, a reta com o máximo declive.

Passo 3

Para encontrar essa reta de máximo declive, precisamos primeiro encontrar o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Para isso, vamos calcular os vetores que representam as retas (A)(B) e (A)©:
  • Vetor AB = B - A = (-1 - 0, 0 - (-4), -3 - (-1)) = (-1, 4, -2)
  • Vetor AC = C - A = (-3 - 0, -1 - (-4), -2 - (-1)) = (-3, 3, -1)
Agora, para encontrar o vetor normal n ao plano, calculamos o produto vetorial desses dois vetores:
n = AB times AC = i & j & k -1 & 4 & -2 -3 & 3 & -1 = i(4 cdot (-1) - (-2) cdot 3) - j((-1)cdot (-1) - (-2)cdot (-3)) + k((-1)cdot 3 - 4 cdot (-3))
Calculando cada componente:
  • Componente i: ( -4 + 6 ) = 2
  • Componente j: (1 - 6) = -5
  • Componente k: (-3 + 12) = 9
Portanto, o vetor normal é n = (2, -5, 9).

Passo 4

Agora que temos o vetor normal ao plano, podemos determinar a direção da reta de máximo declive. Essa reta corresponde à direção em que a projeção da força da gravidade (que agiria na direção negativa do eixo z, ou seja, (0, 0, -1)) é mais inclinada no plano.
Para encontrar isso, vamos projetar o vetor (0, 0, -1) no plano definido pelo vetor normal n. A fórmula para a projeção de um vetor a sobre um vetor b é:
Projb a = a cdot bb cdot b b
No nosso caso, queremos a projeção de (0, 0, -1) no plano, que é dado por:
d = a - Projn a
Onde a = (0, 0, -1).
Calculando a projeção:
Projn a = (0)(2) + (0)(-5) + (-1)(9)2^2 + (-5)^2 + 9^2 n = -94 + 25 + 81 n = -9110 (2, -5, 9)
Então,
d = (0, 0, -1) - ( -18110, 45110, -81110 ) = ( 18110, -45110, -29110 )
Podemos simplificar os coeficientes dividindo por 1:
d = ( 955, -922, -29110 )

Passo 5

Agora que temos o vetor direção d da reta de máximo declive, queremos encontrar as equações paramétricas dessa reta no plano. Sabemos que a reta passa pelo ponto A (0, -4, -1) e tem direção d = ( 955, -922, -29110 ).
As equações paramétricas ficam:
x = 0 + 955 t
y = -4 + -922 t
z = -1 + -29110 t
Onde t é o parâmetro real.

Resposta

A reta de máximo declive no plano definido pelas retas (A)(B) e (A)© tem as seguintes projeções paramétricas:
x = dfrac955 , t y = -4 - dfrac922 , t z = -1 - dfrac29110 , t

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