Determine as projeções de uma reta de máximo declive de um plano definido por duas retas concorrentes (A)(B) e (A)©, sem determinar os traços do plano. Considere:
(A)
(B) e
© .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A questão pede para determinar as projeções de uma reta que tem o máximo declive em um plano. Esse plano é definido por duas retas que se encontram no ponto A, ou seja, pelas retas (A)(B) e (A)©. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, planos e projeções no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que definem as retas (A)(B) e (A)©:
  • Ponto A:
  • Ponto B:
  • Ponto C:
Esses três pontos estão no espaço 3D e formam duas retas que se cruzam no ponto A, definindo assim um plano. Nosso objetivo é achar a reta dentro desse plano que desce o mais rapidamente possível, ou seja, a reta com o máximo declive.

Passo 3

Para encontrar essa reta de máximo declive, precisamos primeiro encontrar o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Para isso, vamos calcular os vetores que representam as retas (A)(B) e (A)©:
  • Vetor
  • Vetor
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, calculamos o produto vetorial desses dois vetores:
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Portanto, o vetor normal é .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal ao plano, podemos determinar a direção da reta de máximo declive. Essa reta corresponde à direção em que a projeção da força da gravidade (que agiria na direção negativa do eixo z, ou seja, ) é mais inclinada no plano.
Para encontrar isso, vamos projetar o vetor no plano definido pelo vetor normal . A fórmula para a projeção de um vetor sobre um vetor é:
No nosso caso, queremos a projeção de no plano, que é dado por:
Onde .
Calculando a projeção:
Então,
Podemos simplificar os coeficientes dividindo por 1:

Passo 5

Agora que temos o vetor direção da reta de máximo declive, queremos encontrar as equações paramétricas dessa reta no plano. Sabemos que a reta passa pelo ponto A e tem direção .
As equações paramétricas ficam:
Onde é o parâmetro real.

Resposta

A reta de máximo declive no plano definido pelas retas (A)(B) e (A)© tem as seguintes projeções paramétricas:

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Determine os traços de um plano ( ) que contém uma horizontal (M)(N) e uma frontal , utilizando traços de apenas uma dessas retas. Considere:
(M)
(N)
§ .
Represente por seus traços um plano ( ) definido pela reta fronto-horizontal ® que contém o ponto (M) do e pela fronto-horizontal (s) que contém o ponto do ( ). Considere:
(M)
(N) .
Por um ponto (A), construa uma reta (A)(B) paralela ao plano , de topo, plano este que contém os pontos © e (T). Considere:
(T)
(A) ;
(B) e
© .
Dado um plano definido pelas retas concorrentes e (B)©, determine a reta do plano, considerando:
(A)
(B) ;
© ;
(M) ;
(N) .