Por um ponto (A), construa uma reta (A)(B) paralela ao plano , de topo, plano este que contém os pontos © e (T). Considere:
(T)
(A) ;
(B) e
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir uma reta que passa pelo ponto e que seja paralela a um plano . Esse plano contém os pontos e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre retas paralelas a planos e como usar coordenadas para encontrar a reta desejada. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que temos:
Queremos encontrar as coordenadas de de forma que a reta seja paralela ao plano .

Passo 3

Para a reta ser paralela ao plano , o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano .
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal do plano . Sabemos que o plano contém os pontos e . Como temos apenas dois pontos, precisamos de mais um para definir o plano completamente. Vamos supor que o ponto também está no plano para termos uma definição completa (caso contrário, precisaríamos de mais informações).

Passo 4

Vamos encontrar dois vetores no plano :
  • Vetor
  • Vetor
Agora, o vetor normal do plano pode ser encontrado pelo produto vetorial desses dois vetores:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal , vamos encontrar o vetor diretor da reta . Suponha que , então o vetor diretor .
Para que seja perpendicular a , o produto escalar entre eles deve ser zero:

Passo 6

Agora, temos uma equação com duas incógnitas ( e ). Precisamos de outra relação para resolver. Normalmente, precisaríamos de mais informações, mas como só temos uma equação, podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos resolver para :
Podemos escolher um valor para para simplificar. Por exemplo, se escolhermos :

Passo 7

Então, se , temos:
Mas podemos escolher qualquer valor para e calcular correspondente. Essa é a família de soluções para . Para um resultado específico, vamos manter :

Resposta

Portanto, um ponto que satisfaz as condições é .

Exercícios relacionados

Determine as projeções de uma reta de máximo declive de um plano definido por duas retas concorrentes (A)(B) e (A)©, sem determinar os traços do plano. Considere:
(A)
(B) e
© .
Determine os traços de um plano ( ) que contém uma horizontal (M)(N) e uma frontal , utilizando traços de apenas uma dessas retas. Considere:
(M)
(N)
§ .
Dado um plano definido pelas retas concorrentes e (B)©, determine a reta do plano, considerando:
(A)
(B) ;
© ;
(M) ;
(N) .
O plano é definido por seus traços. Determine as projeções da reta do plano. Considere:
(T)
(U)

.