Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir uma reta que passa pelo ponto e que seja paralela a um plano . Esse plano contém os pontos e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre retas paralelas a planos e como usar coordenadas para encontrar a reta desejada. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos que temos:
Queremos encontrar as coordenadas de de forma que a reta seja paralela ao plano .
Passo 3
Para a reta ser paralela ao plano , o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano .
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal do plano . Sabemos que o plano contém os pontos e . Como temos apenas dois pontos, precisamos de mais um para definir o plano completamente. Vamos supor que o ponto também está no plano para termos uma definição completa (caso contrário, precisaríamos de mais informações).
Passo 4
Vamos encontrar dois vetores no plano :
Vetor
Vetor
Agora, o vetor normal do plano pode ser encontrado pelo produto vetorial desses dois vetores:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal AB cdot n = (-7,5)(-2) + (y + 1)(14) + (z + 3)(-4) = 0 , vamos encontrar o vetor diretor da reta 15 + 14(y + 1) - 4(z + 3) = 0 . Suponha que 15 + 14y + 14 - 4z - 12 = 0 , então o vetor diretor 14y - 4z + 17 = 0 .
Para que seja perpendicular a , o produto escalar entre eles deve ser zero:
Passo 6
Agora, temos uma equação com duas incógnitas ( 14y - 4z + 17 = 0 Rightarrow y = 4z - 1714 e y = 4(0) - 1714 = -1714 approx -1,214 ). Precisamos de outra relação para resolver. Normalmente, precisaríamos de mais informações, mas como só temos uma equação, podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos resolver para :
Podemos escolher um valor para para simplificar. Por exemplo, se escolhermos :
Passo 7
Então, se B = [-8,5; -1,214; 0] , temos:
Mas podemos escolher qualquer valor para e calcular correspondente. Essa é a família de soluções para . Para um resultado específico, vamos manter :