Por um ponto (A), construa uma reta (A)(B) paralela ao plano (alpha), de topo, plano este que contém os pontos © e (T). Considere:
(T) [0 ; 0 ; 0] ;
(A) [-1 ;-1 ;-3];
(B) [-8,5 ; ? ; ?] ; e
© [-6 ;-2 ;-4].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir uma reta que passa pelo ponto e que seja paralela a um plano . Esse plano contém os pontos e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre retas paralelas a planos e como usar coordenadas para encontrar a reta desejada. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que temos:
Queremos encontrar as coordenadas de de forma que a reta seja paralela ao plano .

Passo 3

Para a reta ser paralela ao plano , o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano .
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal do plano . Sabemos que o plano contém os pontos e . Como temos apenas dois pontos, precisamos de mais um para definir o plano completamente. Vamos supor que o ponto também está no plano para termos uma definição completa (caso contrário, precisaríamos de mais informações).

Passo 4

Vamos encontrar dois vetores no plano n = CT times CA = i & j & k 6 & 2 & 4 5 & 1 & 1 = i(2 cdot 1 - 4 cdot 1) - j(6 cdot 1 - 4 cdot 5) + k(6 cdot 1 - 2 cdot 5) :
  • Vetor n = i(-2) - j(-14) + k(-4) = [-2; 14; -4]
  • Vetor
Agora, o vetor normal do plano pode ser encontrado pelo produto vetorial desses dois vetores:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal AB cdot n = (-7,5)(-2) + (y + 1)(14) + (z + 3)(-4) = 0 , vamos encontrar o vetor diretor da reta 15 + 14(y + 1) - 4(z + 3) = 0 . Suponha que 15 + 14y + 14 - 4z - 12 = 0 , então o vetor diretor 14y - 4z + 17 = 0 .
Para que seja perpendicular a , o produto escalar entre eles deve ser zero:

Passo 6

Agora, temos uma equação com duas incógnitas ( 14y - 4z + 17 = 0 Rightarrow y = 4z - 1714 e y = 4(0) - 1714 = -1714 approx -1,214 ). Precisamos de outra relação para resolver. Normalmente, precisaríamos de mais informações, mas como só temos uma equação, podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos resolver para :
Podemos escolher um valor para para simplificar. Por exemplo, se escolhermos :

Passo 7

Então, se B = [-8,5; -1,214; 0] , temos:
Mas podemos escolher qualquer valor para e calcular correspondente. Essa é a família de soluções para . Para um resultado específico, vamos manter :

Resposta

Portanto, um ponto que satisfaz as condições é .

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