Dado o ponto , determine as coordenadas de dois pontos e situados respectivamente em e , de tal modo que seja o ponto médio de segmentos .
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um ponto que é o ponto médio do segmento que liga dois pontos e . Sabemos que está na reta e está na reta . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de e .
Para resolver isso, precisamos usar a fórmula do ponto médio e as equações das retas e .
Passo 2
Primeiro, vamos chamar as coordenadas de de e as de de .
Como está na reta , sabemos que .
E como está na reta , temos que .
Passo 3
A fórmula do ponto médio M = ( xp + xq2, yp + yq2 ) entre dois pontos xp + xq2 = 1 e yp + yq2 = 2 e é:
Sabemos que é o ponto . Então, podemos igualar as coordenadas:
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação para xp + xq2 = 1 implies xp + xq = 2 :
yp + yq2 = 2 implies yp + yq = 4
Agora, a segunda equação para :
Passo 5
Lembrando que xp + 4xq = 4 e xp + xq = 2 xp + 4xq = 4 , podemos substituir na segunda equação:
Agora temos um sistema de duas equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos subtrair a primeira equação da segunda:
(xp + 4xq) - (xp + xq) = 4 - 2 3xq = 2 xq = 23
Passo 7
Agora que encontramos xp + 23 = 2 xp = 2 - 23 = 43 , podemos usar a primeira equação para encontrar :
Passo 8
Com yp = 43 e sabendo que yq = 4 times 23 = 83 , temos: