Dado o ponto A=(1,2), determine as coordenadas de dois pontos P e Q situados respectivamente em y=x e y=4 x, de tal modo que A seja o ponto médio de segmentos P Q.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um ponto que é o ponto médio do segmento que liga dois pontos e . Sabemos que está na reta e está na reta . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de e .
Para resolver isso, precisamos usar a fórmula do ponto médio e as equações das retas e .

Passo 2

Primeiro, vamos chamar as coordenadas de de e as de de .
Como está na reta , sabemos que .
E como está na reta , temos que .

Passo 3

A fórmula do ponto médio M = ( xp + xq2, yp + yq2 ) entre dois pontos xp + xq2 = 1 e yp + yq2 = 2 e é:
Sabemos que é o ponto . Então, podemos igualar as coordenadas:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para xp + xq2 = 1 implies xp + xq = 2 :
yp + yq2 = 2 implies yp + yq = 4
Agora, a segunda equação para :

Passo 5

Lembrando que xp + 4xq = 4 e xp + xq = 2 xp + 4xq = 4 , podemos substituir na segunda equação:
Agora temos um sistema de duas equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos subtrair a primeira equação da segunda:
(xp + 4xq) - (xp + xq) = 4 - 2 3xq = 2 xq = 23

Passo 7

Agora que encontramos xp + 23 = 2 xp = 2 - 23 = 43 , podemos usar a primeira equação para encontrar :

Passo 8

Com yp = 43 e sabendo que yq = 4 times 23 = 83 , temos:
E com e :

Resposta

As coordenadas dos pontos são:
P = ( 43, 43 ) e Q = ( 23, 83 )

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