Determinar a para que as retas , ax e sejam concorrentes no mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que envolve geometria analítica, mais especificamente sobre retas e concorrência delas. Você precisa encontrar o valor de para que as três retas dadas , e se intersectem todas no mesmo ponto. Para isso, vamos precisar resolver o sistema de equações formado por essas três retas e encontrar o valor de que permite uma solução única para todas elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que três retas são concorrentes se existe um único ponto que satisfaz todas as três equações simultaneamente. Isso significa que podemos resolver o sistema formado por duas das retas e, em seguida, verificar se esse ponto também satisfaz a terceira reta.
Passo 3
Vamos começar resolvendo as duas primeiras equações:
Podemos resolver esse sistema por substituição ou por método de igualação. Vamos usar a substituição.
Passo 4
Da equação (2), isolamos :
Agora, substituímos na equação (1):
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Agora temos em termos de .
Passo 6
Substituímos na expressão para :
Vamos simplificar:
Passo 7
Agora temos o ponto de interseção das duas primeiras retas:
Para que as três retas sejam concorrentes, esse ponto deve também satisfazer a terceira equação .
Passo 8
Substituímos e na terceira equação:
Vamos simplificar:
Passo 9
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 10
Dividindo a equação por 3 para simplificar:
Agora, resolvemos a equação quadrática para .
Passo 11
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, temos duas soluções:
Resposta
O valor de que faz com que as três retas sejam concorrentes é ou .