Determinar a para que as retas x+2 y-2 a=0, ax -y-3=0 e 2 x-2 y-a=0 sejam concorrentes no mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que envolve geometria analítica, mais especificamente sobre retas e concorrência delas. Você precisa encontrar o valor de para que as três retas dadas , e se intersectem todas no mesmo ponto. Para isso, vamos precisar resolver o sistema de equações formado por essas três retas e encontrar o valor de que permite uma solução única para todas elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que três retas são concorrentes se existe um único ponto que satisfaz todas as três equações simultaneamente. Isso significa que podemos resolver o sistema formado por duas das retas e, em seguida, verificar se esse ponto também satisfaz a terceira reta.

Passo 3

Vamos começar resolvendo as duas primeiras equações:
x + 2y - 2a = 0 (1) ax - y - 3 = 0 (2)
Podemos resolver esse sistema por substituição ou por método de igualação. Vamos usar a substituição.

Passo 4

Da equação (2), isolamos ax - y - 3 = 0 implies y = ax - 3 :
x + 2(ax - 3) - 2a = 0
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
x + 2ax - 6 - 2a = 0 implies x(1 + 2a) = 6 + 2a implies x = 6 + 2a1 + 2a
Agora temos em termos de .

Passo 6

Substituímos y = a(6 + 2a1 + 2a) - 3 = a(6 + 2a)1 + 2a - 3 na expressão para y = 6a + 2a^2 - 3(1 + 2a)1 + 2a = 6a + 2a^2 - 3 - 6a1 + 2a = 2a^2 - 31 + 2a :
Vamos simplificar:

Passo 7

Agora temos o ponto de interseção das duas primeiras retas:
( 6 + 2a1 + 2a, 2a^2 - 31 + 2a )
Para que as três retas sejam concorrentes, esse ponto deve também satisfazer a terceira equação .

Passo 8

Substituímos 2(6 + 2a1 + 2a) - 2(2a^2 - 31 + 2a) - a = 0 e 12 + 4a - 4a^2 + 61 + 2a - a = 0 implies 18 + 4a - 4a^21 + 2a - a = 0 na terceira equação:
Vamos simplificar:

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por 18 + 4a - 4a^2 - a(1 + 2a) = 0 implies 18 + 4a - 4a^2 - a - 2a^2 = 0 para eliminar o denominador:
18 + 3a - 6a^2 = 0 implies 6a^2 - 3a - 18 = 0
Simplificando:

Passo 10

Dividindo a equação por 3 para simplificar:
2a^2 - a - 6 = 0
Agora, resolvemos a equação quadrática para .

Passo 11

Usamos a fórmula de Bhaskara:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4(2)(-6)2(2) = 1 pm raiz1 + 484 = 1 pm raiz494 = 1 pm 74 , a = 1 + 74 = 2 ou a = 1 - 74 = -64 = -32 , e :
Então, temos duas soluções:

Resposta

O valor de que faz com que as três retas sejam concorrentes é ou .

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