Dado o seguinte sistema:
l 2 x+3 y-z=5 -x+4 y+4 z=10 3 x-2 y+z=0
Determine se ele é consistente e, se for, encontre a solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de três equações com três incógnitas (x, y e z) e quer saber se ele tem solução (ou seja, se é consistente) e, se tiver, qual é essa solução. Para resolver isso, vamos usar a eliminação de variáveis, um método clássico de Álgebra Linear que permite simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema direitinho para facilitar nosso trabalho:
2x + 3y - z = 5 - x + 4y + 4z = 10 3x - 2y + z = 0
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis de duas das equações para começar a resolver o sistema. Vamos escolher eliminar o x primeiro.

Passo 3

Para eliminar o x, vamos combinar a primeira e a segunda equações de forma que o coeficiente de x seja o mesmo (em valor absoluto). Vamos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar:
Multiplicando a segunda equação por 2:
-2x + 8y + 8z = 20
Agora, temos:
2x + 3y - z = 5 (Equação 1) -2x + 8y + 8z = 20 (Equação 2 muçãçã
Agora, somamos a Equação 1 com a Equação 2 multiplicada para eliminar o x:
(2x + 3y - z) + (-2x + 8y + 8z) = 5 + 20 (0x) + 11y + 7z = 25
Então, obtemos uma nova equação:
11y + 7z = 25 (Equação 4) çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x novamente, mas usando a primeira e a terceira equações desta vez.
Multiplicaremos a terceira equação por (2/3) para que o coeficiente de x seja 2, igual ao da primeira equação:
Multiplicando a terceira equação por (2/3):
2x - 43y + 23z = 0
Agora, temos:
2x + 3y - z = 5 (Equação 1) 2x - 43y + 23z = 0 (Equação 3 muçãçã
Subtraímos a Equação 3 multiplicada da Equação 1 para eliminar o x:
(2x + 3y - z) - (2x - 43y + 23z) = 5 - 0 0x + (3y + 43y) + (-z - 23z) = 5 133y - 53z = 5
Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar as frações:
13y - 5z = 15 (Equação 5) çã

Passo 5

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
11y + 7z = 25 (Equação 4) 13y - 5z = 15 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de y e z. Vamos usar novamente a eliminação de variáveis. Desta vez, vamos eliminar z.
Multiplicamos a Equação 4 por 5 e a Equação 5 por 7 para igualar os coeficientes de z:
55y + 35z = 125 (Equação 4 muçãçã
Somando as duas equações:
55y + 35z + 91y - 35z = 125 + 105 146y = 230 y = 230146 = 11573 = 53
Então, y = 5/3.

Passo 6

Agora que temos o valor de y, vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar z. Vamos usar a Equação 4:
11y + 7z = 25 11(53) + 7z = 25 553 + 7z = 25 7z = 25 - 553 7z = 753 - 553 7z = 203 z = 203 times 7 z = 2021
Então, z = 20/21.

Passo 7

Agora que temos y e z, vamos encontrar o valor de x usando uma das equações iniciais. Vamos usar a primeira equação:
2x + 3y - z = 5 2x + 3(53) - 2021 = 5 2x + 5 - 2021 = 5 2x = 5 - 5 + 2021 2x = 2021 x = 1021
Então, x = 10/21.

Resposta

O sistema é consistente e a solução é:
x = 1021, y = 53, z = 2021

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