Dado o seguinte sistema:
Determine se ele é consistente e, se for, encontre a solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de três equações com três incógnitas (x, y e z) e quer saber se ele tem solução (ou seja, se é consistente) e, se tiver, qual é essa solução. Para resolver isso, vamos usar a eliminação de variáveis, um método clássico de Álgebra Linear que permite simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema direitinho para facilitar nosso trabalho:
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis de duas das equações para começar a resolver o sistema. Vamos escolher eliminar o x primeiro.

Passo 3

Para eliminar o x, vamos combinar a primeira e a segunda equações de forma que o coeficiente de x seja o mesmo (em valor absoluto). Vamos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Agora, temos:
çãçã
Agora, somamos a Equação 1 com a Equação 2 multiplicada para eliminar o x:
Então, obtemos uma nova equação:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x novamente, mas usando a primeira e a terceira equações desta vez.
Multiplicaremos a terceira equação por (2/3) para que o coeficiente de x seja 2, igual ao da primeira equação:
Multiplicando a terceira equação por (2/3):
Agora, temos:
çãçã
Subtraímos a Equação 3 multiplicada da Equação 1 para eliminar o x:
Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar as frações:
çã

Passo 5

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de y e z. Vamos usar novamente a eliminação de variáveis. Desta vez, vamos eliminar z.
Multiplicamos a Equação 4 por 5 e a Equação 5 por 7 para igualar os coeficientes de z:
çãçã
Somando as duas equações:
Então, y = 5/3.

Passo 6

Agora que temos o valor de y, vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar z. Vamos usar a Equação 4:
Então, z = 20/21.

Passo 7

Agora que temos y e z, vamos encontrar o valor de x usando uma das equações iniciais. Vamos usar a primeira equação:
Então, x = 10/21.

Resposta

O sistema é consistente e a solução é:

Exercícios relacionados

Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
(d)
Considere o seguinte sistema de equações lineares nas incógnitas e .:
Determine todos os valores de para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
© tem infinitas soluções. Neste caso, determine o conjunto solução do sistema.
Explique o conceito de posição de pivô e como ele se relaciona com a solução de um sistema linear.
Resolva a seguinte matriz aumentada e determine se o sistema é compatível: