Considere o seguinte sistema de equações lineares nas incógnitas x, y e z.:
l x+a y-z=1 -x+y+2 z=2 -x-y+a z=-a
Determine todos os valores de a para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
© tem infinitas soluções. Neste caso, determine o conjunto solução do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de três equações lineares com três incógnitas: , e . A equação depende de um parâmetro . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de o sistema:
(a) Tem uma única solução;
(b) Não tem solução;
© Tem infinitas soluções e, nesse caso, encontrar todas as soluções possíveis.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares, determinantes e matrizes. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais organizada:
x + a y - z = 1 - x + y + 2 z = 2 - x - y + a z = -a
Nossa meta é descobrir quando esse sistema tem uma única solução, nenhuma ou infinitas soluções. Para isso, vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 3

Vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema, que é assim:
A = 1 & a & -1 -1 & 1 & 2 -1 & -1 & a
O determinante dessa matriz, que chamaremos de , nos ajudará a saber se o sistema tem uma única solução ou não.

Passo 4

Vamos calcular o determinante De da matriz De. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
De
Aplicando isso na nossa matriz:
De
Vamos simplificar cada parte:
De
De

Passo 5

Agora que temos a^2 - a = 0 a(a - 1) = 0 , vamos analisar quando esse determinante é diferente de zero, igual a zero ou não existe.
  • Se : o sistema tem uma única solução.
  • Se : o sistema pode não ter solução ou ter infinitas soluções, dependendo dos termos do sistema.
Vamos encontrar os valores de que fazem :
Então, ou .

Passo 6

Vamos resumir o que achamos até agora:
  • Para e : → Sistema tem uma única solução.
  • Para ou : → Precisamos verificar se o sistema é inconsistente ou se tem infinitas soluções.

Passo 7

Vamos analisar os casos quando x + 0 cdot y - z = 1 Rightarrow x - z = 1 - x + y + 2 z = 2 - x - y + 0 cdot z = 0 Rightarrow -x - y = 0 e x - z = 1 - x + y + 2 z = 2 -x - y = 0 .

Caso 1: -x - y = 0 Rightarrow y = -x

Substituindo - x + (-x) + 2 z = 2 Rightarrow -2x + 2z = 2 Rightarrow -x + z = 1 no sistema:
x - z = 1 - x + z = 1
Simplificando:
0 = 2 Rightarrow Contradição
Vamos resolver esse sistema. Da terceira equação, temos:
x + y - z = 1 - x + y + 2 z = 2 - x - y + z = -1
Substituindo (x + y - z) + (-x - y + z) = 1 + (-1) 0 + 0 + 0 = 0 na segunda equação:
(x + y - z) + (-x + y + 2 z) = 1 + 2 0 + 2y + z = 3 Rightarrow 2y + z = 3
Da primeira equação, também temos x + y - z = 1 2y + z = 3 . Juntando com z = 3 - 2y :
x + y - (3 - 2y) = 1 x + y - 3 + 2y = 1 x + 3y = 4 Rightarrow x = 4 - 3y
Somando as duas equações:
x = 4 - 3y z = 3 - 2y çã
Isso significa que, para , o sistema não tem solução.

Caso 2:

Substituindo no sistema:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Somando a primeira e a terceira equação:
Isso nos dá uma identidade verdadeira, o que indica que temos uma equação redundante e possivelmente infinitas soluções. Vamos verificar as outras equações.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Podemos somar essas duas equações:
Agora temos:
Podemos resolver para na segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos:
Isso significa que para , o sistema tem infinitas soluções, dependendo do valor de .

Resposta

(a) Para todo , (x, y, z) mid x = 4 - 3y, z = 3 - 2y, y é real , e , o sistema tem uma única solução;
(b) Quando , o sistema não tem solução;
© Quando , o sistema tem infinitas soluções, e o conjunto solução é dado por:
é

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