Considere o seguinte sistema de equações lineares nas incógnitas e .:
Determine todos os valores de para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
© tem infinitas soluções. Neste caso, determine o conjunto solução do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de três equações lineares com três incógnitas: , e . A equação depende de um parâmetro . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de o sistema:
(a) Tem uma única solução;
(b) Não tem solução;
© Tem infinitas soluções e, nesse caso, encontrar todas as soluções possíveis.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares, determinantes e matrizes. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais organizada:
Nossa meta é descobrir quando esse sistema tem uma única solução, nenhuma ou infinitas soluções. Para isso, vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 3

Vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema, que é assim:
O determinante dessa matriz, que chamaremos de , nos ajudará a saber se o sistema tem uma única solução ou não.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz . A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
Aplicando isso na nossa matriz:
Vamos simplificar cada parte:

Passo 5

Agora que temos , vamos analisar quando esse determinante é diferente de zero, igual a zero ou não existe.
  • Se : o sistema tem uma única solução.
  • Se : o sistema pode não ter solução ou ter infinitas soluções, dependendo dos termos do sistema.
Vamos encontrar os valores de que fazem :
Então, ou .

Passo 6

Vamos resumir o que achamos até agora:
  • Para e : → Sistema tem uma única solução.
  • Para ou : → Precisamos verificar se o sistema é inconsistente ou se tem infinitas soluções.

Passo 7

Vamos analisar os casos quando e .

Caso 1:

Substituindo no sistema:
Simplificando:
Vamos resolver esse sistema. Da terceira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
Da primeira equação, também temos . Juntando com :
Somando as duas equações:
çã
Isso significa que, para , o sistema não tem solução.

Caso 2:

Substituindo no sistema:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Somando a primeira e a terceira equação:
Isso nos dá uma identidade verdadeira, o que indica que temos uma equação redundante e possivelmente infinitas soluções. Vamos verificar as outras equações.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Podemos somar essas duas equações:
Agora temos:
Podemos resolver para na segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos:
Isso significa que para , o sistema tem infinitas soluções, dependendo do valor de .

Resposta

(a) Para todo e , o sistema tem uma única solução;
(b) Quando , o sistema não tem solução;
© Quando , o sistema tem infinitas soluções, e o conjunto solução é dado por:
é

Exercícios relacionados

Um sistema linear é dado por:
Resolva o sistema e determine sua consistência.
Resolva o sistema representado pela seguinte matriz aumentada:
Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
(d)
Dado o seguinte sistema:
Determine se ele é consistente e, se for, encontre a solução.