Resolva a seguinte matriz aumentada e determine se o sistema é compatível:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 10 2 & 1 & -1 & 3 & 7 -1 & 2 & 3 & -1 & 8 3 & -1 & 1 & 2 & 4 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa matriz aumentada pra descobrir se o sistema tem solução. A gente vai usar o método de eliminação de Gauss, que é uma técnica de álgebra linear. Basicamente, a gente vai manipular as linhas da matriz pra facilitar e ver se conseguimos encontrar valores para as variáveis que satisfazem todas as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada que a gente tem:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 10 2 & 1 & -1 & 3 & 7 -1 & 2 & 3 & -1 & 8 3 & -1 & 1 & 2 & 4 )
Nossa meta é deixar essa matriz na forma triangular, ou seja, com zeros abaixo da diagonal principal.

Passo 3

Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda linha. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Fazendo isso:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 10 0 & -1 & -3 & 1 & -13 -1 & 2 & 3 & -1 & 8 3 & -1 & 1 & 2 & 4 )

Passo 4

Agora, vamos eliminar o primeiro elemento da terceira linha. Para isso, somamos a primeira linha à terceira linha:
Linha3 = Linha3 + Linha1
Resultado:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 10 0 & -1 & -3 & 1 & -13 0 & 3 & 4 & 0 & 18 3 & -1 & 1 & 2 & 4 )

Passo 5

Vamos eliminar o primeiro elemento da quarta linha. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - 3 * Linha1
Ficando assim:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 10 0 & -1 & -3 & 1 & -13 0 & 3 & 4 & 0 & 18 0 & -4 & -2 & -1 & -26 )

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter 1 na posição (2,2). Para isso, multiplicamos a segunda linha por -1:
Linha2 = -1 * Linha2
Resultado:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 10 0 & 1 & 3 & -1 & 13 0 & 3 & 4 & 0 & 18 0 & -4 & -2 & -1 & -26 )

Passo 7

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo e acima do 1 na segunda coluna.
Para a terceira linha, subtraímos 3 vezes a segunda linha:
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha2
E para a quarta linha, somamos 4 vezes a segunda linha:
Linha4 = Linha4 + 4 * Linha2
Ficando assim:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 10 0 & 1 & 3 & -1 & 13 0 & 0 & -5 & 3 & -21 0 & 0 & 10 & -5 & 26 )

Passo 8

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos ter um 1 na posição (3,3). Para isso, dividimos a terceira linha por -5:
Linha3 = 1-5 * Linha3
Ficando:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 10 0 & 1 & 3 & -1 & 13 0 & 0 & 1 & -35 & 215 0 & 0 & 10 & -5 & 26 )

Passo 9

Agora, vamos eliminar o 10 na quarta linha da terceira coluna. Subtraímos 10 vezes a terceira linha da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - 10 * Linha3
Resultado:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 10 0 & 1 & 3 & -1 & 13 0 & 0 & 1 & -35 & 215 0 & 0 & 0 & 1 & -45 )

Passo 10

Finalmente, vamos eliminar os elementos acima do 1 na quarta coluna.
Para a terceira linha, adicionamos 35 vezes a quarta linha:
Linha3 = Linha3 + 35 * Linha4
Para a segunda linha, adicionamos a quarta linha:
Linha2 = Linha2 + Linha4
Para a primeira linha, subtraímos a quarta linha:
Linha1 = Linha1 - Linha4
Ficando assim:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 0 & 545 0 & 1 & 3 & 0 & 615 0 & 0 & 1 & 0 & 95 0 & 0 & 0 & 1 & -45 )

Passo 11

Agora, nossa matriz está na forma escalonada, ou seja, cada variável está isolada:
x1 + x2 + x3 = 545 x2 + 3x3 = 615 x3 = 95 x4 = -45
Vamos resolver de baixo para cima.

Passo 12

Primeiro, já sabemos que:
x3 = 95
Agora, substituímos esse valor na segunda equação:
x2 + 3(95) = 615
Simplificando:
x2 + 275 = 615 x2 = 615 - 275 = 345

Passo 13

Com os valores de x1 + 345 + 95 = 545 e x1 + 435 = 545 x1 = 545 - 435 = 115 , vamos para a primeira equação:
Somando os termos conhecidos:

Resposta

O sistema é compatível e possui a solução:
x1 = 115 x2 = 345 x3 = 95 x4 = -45

Exercícios relacionados