Resolva a seguinte matriz aumentada e determine se o sistema é compatível:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa matriz aumentada pra descobrir se o sistema tem solução. A gente vai usar o método de eliminação de Gauss, que é uma técnica de álgebra linear. Basicamente, a gente vai manipular as linhas da matriz pra facilitar e ver se conseguimos encontrar valores para as variáveis que satisfazem todas as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada que a gente tem:
Nossa meta é deixar essa matriz na forma triangular, ou seja, com zeros abaixo da diagonal principal.

Passo 3

Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda linha. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Fazendo isso:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o primeiro elemento da terceira linha. Para isso, somamos a primeira linha à terceira linha:
Linha3 = Linha3 + Linha1
Resultado:

Passo 5

Vamos eliminar o primeiro elemento da quarta linha. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - 3 * Linha1
Ficando assim:

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter 1 na posição (2,2). Para isso, multiplicamos a segunda linha por -1:
Linha2 = -1 * Linha2
Resultado:

Passo 7

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo e acima do 1 na segunda coluna.
Para a terceira linha, subtraímos 3 vezes a segunda linha:
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha2
E para a quarta linha, somamos 4 vezes a segunda linha:
Linha4 = Linha4 + 4 * Linha2
Ficando assim:

Passo 8

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos ter um 1 na posição (3,3). Para isso, dividimos a terceira linha por -5:
Linha3 = * Linha3
Ficando:

Passo 9

Agora, vamos eliminar o 10 na quarta linha da terceira coluna. Subtraímos 10 vezes a terceira linha da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - 10 * Linha3
Resultado:

Passo 10

Finalmente, vamos eliminar os elementos acima do 1 na quarta coluna.
Para a terceira linha, adicionamos vezes a quarta linha:
Linha3 = Linha3 + * Linha4
Para a segunda linha, adicionamos a quarta linha:
Linha2 = Linha2 + Linha4
Para a primeira linha, subtraímos a quarta linha:
Linha1 = Linha1 - Linha4
Ficando assim:

Passo 11

Agora, nossa matriz está na forma escalonada, ou seja, cada variável está isolada:
Vamos resolver de baixo para cima.

Passo 12

Primeiro, já sabemos que:
Agora, substituímos esse valor na segunda equação:
Simplificando:

Passo 13

Com os valores de e , vamos para a primeira equação:
Somando os termos conhecidos:

Resposta

O sistema é compatível e possui a solução:

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