Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
(d) 3 x1+x2+3 x3=11
-6 x1-4 x2+2 x3=30

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação gaussiana, que é uma técnica da álgebra linear para resolver sistemas lineares. O sistema que temos é:
3x1 + x2 + 3x3 = 11 -6x1 - 4x2 + 2x3 = 30
Para resolver, vamos manipular essas equações para simplificar e encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada, que combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
3 & 1 & 3 & | & 11 -6 & -4 & 2 & | & 30

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente encontrar os valores de 2 times (3x1 + x2 + 3x3) = 2 times 11 implies 6x1 + 2x2 + 6x3 = 22 , (-6x1 - 4x2 + 2x3) + (6x1 + 2x2 + 6x3) = 30 + 22 e (0x1) - 2x2 + 8x3 = 52 . Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vamos eliminar -2x2 + 8x3 = 52 .
Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por 2 e somar com a segunda linha:
Multiplicando a primeira linha por 2:
Agora, somamos essa nova equação com a segunda linha original:
Simplificando:
Portanto, a segunda equação fica:

Passo 4

Agora temos o sistema simplificado:
3x1 + x2 + 3x3 = 11 -2x2 + 8x3 = 52
Vamos resolver a segunda equação para -2x2 + 8x3 = 52 implies -2x2 = 52 - 8x3 implies x2 = 8x3 - 522 implies x2 = 4x3 - 26 :

Passo 5

Agora que temos 3x1 + x2 + 3x3 = 11 implies 3x1 + (4x3 - 26) + 3x3 = 11 implies 3x1 + 7x3 - 26 = 11 implies 3x1 = 11 + 26 - 7x3 implies 3x1 = 37 - 7x3 implies x1 = 37 - 7x33 em função de , vamos substituir essa expressão na primeira equação para encontrar :

Passo 6

Até aqui, encontramos que:
x1 = 37 - 7x33 x2 = 4x3 - 26
Como temos duas equações com três variáveis, significa que o sistema tem infinitas soluções e que podemos expressar e em função de , que pode ser qualquer número real.

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x1 = 37 - 7x33, x2 = 4x3 - 26, x3 é um número real qualquer éú

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