Dado o sistema, discuta quanto à existência ou não de solução. Determine sua solução caso o sistema seja possível.

Passo 1

Beleza! A gente tem um sistema de equações com quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo aqui é descobrir se esse sistema tem solução ou não. Se tiver, vamos encontrar os valores de cada variável. Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até chegar numa forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:

Passo 3

O próximo passo é montar a matriz aumentada do sistema, que junta os coeficientes das variáveis e os termos constantes:

Passo 4

Agora, vamos começar a eliminar as variáveis para simplificar o sistema. A ideia é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde conseguimos resolver uma variável de cada vez.
Primeiro, vamos usar a primeira equação para eliminar o das outras equações.

Passo 5

Para eliminar o da segunda equação, multiplicamos a primeira equação por e subtraímos da segunda:
Após simplificar, obtemos uma nova equação sem .

Passo 6

Repetimos o mesmo processo para a terceira e quarta equações:
  • Para a terceira equação, multiplicamos a primeira por e subtraímos da terceira.
  • Para a quarta equação, multiplicamos a primeira por e subtraímos da quarta.
Isso vai nos dar mais duas equações sem .

Passo 7

Com isso, temos um novo sistema mais simples com apenas , e . Vamos montar essa nova matriz e repetir o processo de eliminação para reduzir ainda mais o sistema.

Passo 8

Continuamos eliminando variáveis até que cada equação tenha apenas uma variável. Nesse ponto, podemos facilmente resolver cada variável começando da última equação e substituindo os valores encontrados nas anteriores.

Passo 9

Após resolver todas as equações, chegamos aos valores de , , e que satisfazem todas as equações do sistema original.

Resposta

O sistema possui uma solução única, e os valores das variáveis são:

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