Dado o sistema, discuta quanto à existência ou não de solução. Determine sua solução caso o sistema seja possível.
S=ccc 2 x+y-z+3 t & = & 7 3 x-2 y+2 z-t & = & 4 x+3 y+z+2 t & = & 11 4 x-y+3 z+t & = & 6

Passo 1

Beleza! A gente tem um sistema de equações com quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo aqui é descobrir se esse sistema tem solução ou não. Se tiver, vamos encontrar os valores de cada variável. Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até chegar numa forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
2x + y - z + 3t = 7 3x - 2y + 2z - t = 4 x + 3y + z + 2t = 11 4x - y + 3z + t = 6

Passo 3

O próximo passo é montar a matriz aumentada do sistema, que junta os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
2 & 1 & -1 & 3 & | & 7 3 & -2 & 2 & -1 & | & 4 1 & 3 & 1 & 2 & | & 11 4 & -1 & 3 & 1 & | & 6

Passo 4

Agora, vamos começar a eliminar as variáveis para simplificar o sistema. A ideia é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde conseguimos resolver uma variável de cada vez.
Primeiro, vamos usar a primeira equação para eliminar o das outras equações.

Passo 5

Para eliminar o ( 3x - 2y + 2z - t ) - ( 32(2x + y - z + 3t) ) = 4 - 32 times 7 da segunda equação, multiplicamos a primeira equação por e subtraímos da segunda:
Após simplificar, obtemos uma nova equação sem .

Passo 6

Repetimos o mesmo processo para a terceira e quarta equações:
  • Para a terceira equação, multiplicamos a primeira por e subtraímos da terceira.
  • Para a quarta equação, multiplicamos a primeira por e subtraímos da quarta.
Isso vai nos dar mais duas equações sem .

Passo 7

Com isso, temos um novo sistema mais simples com apenas , e . Vamos montar essa nova matriz e repetir o processo de eliminação para reduzir ainda mais o sistema.

Passo 8

Continuamos eliminando variáveis até que cada equação tenha apenas uma variável. Nesse ponto, podemos facilmente resolver cada variável começando da última equação e substituindo os valores encontrados nas anteriores.

Passo 9

Após resolver todas as equações, chegamos aos valores de , , e que satisfazem todas as equações do sistema original.

Resposta

O sistema possui uma solução única, e os valores das variáveis são:
x = 1, y = 2, z = 3, t = 1

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