Discuta (diga se é possível ou impossível, determinado ou indeterminado) os sistemas lineares (em função de )

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis , e , e um parâmetro . O problema quer que a gente determine para quais valores de o sistema é possível ou impossível, e se, sendo possível, ele tem uma única solução (determinado) ou várias soluções (indeterminado). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e análise de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Temos:
A matriz dos coeficientes é:
E o vetor dos termos constantes é:

Passo 3

Para saber se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo se o sistema é compatível ou não.
O determinante de é calculado assim:
Vamos calcular cada menor:
Substituindo na expressão do determinante:
Simplificando:
Então:

Passo 4

Agora, vamos achar para quais valores de o determinante é zero, ou seja:
Vamos resolver essa equação cúbica. Tentamos valores inteiros que possam ser raízes. Testando :
Então, é uma raiz. Fazendo a fatoração:
Agora, resolvemos :
Logo, as raízes são e .

Passo 5

Então, temos que o determinante é zero para e . Para esses valores, o sistema pode ser indeterminado ou impossível. Para os outros valores de , o determinante é diferente de zero, então o sistema tem uma única solução.
Vamos verificar cada caso:
  1. Para e :
    • ⇒ Sistema determinado e tem uma única solução.
  2. Para :
    • Calculamos o determinante e vimos que é zero.
    • Precisamos verificar se o sistema é compatível ou não. Substituindo nas equações: As três equações se tornam inconsistentes (0 ≠ 1 e 0 ≠ -1), então o sistema é impossível.
  3. Para :
    • Com , calculamos as equações: Resolvendo esse sistema, podemos encontrar múltiplas soluções, indicando que o sistema é indeterminado.

Resposta

O sistema é determinado e possui uma única solução para todo valor de diferente de 1 e -2. Para , o sistema é impossível, e para , o sistema é indeterminado.

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Calcule onde