Discuta (diga se é possível ou impossível, determinado ou indeterminado) os sistemas lineares (em função de )
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis , e , e um parâmetro . O problema quer que a gente determine para quais valores de o sistema é possível ou impossível, e se, sendo possível, ele tem uma única solução (determinado) ou várias soluções (indeterminado). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e análise de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Temos:
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & -a a & 1 & -1 1 & a & -1
E o vetor dos termos constantes é:
b = 0 2 - a - a
Passo 3
Para saber se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes det(A) = 1 cdot 1 & -1 a & -1 - 1 cdot a & -1 1 & -1 + (-a) cdot a & 1 1 & a . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo se o sistema é compatível ou não.
O determinante de 1 & -1 a & -1 = (1)(-1) - (a)(-1) = -1 + a = a - 1 é calculado assim:
a & -1 1 & -1 = (a)(-1) - (1)(-1) = -a + 1 = 1 - a
Vamos calcular cada menor:
a & 1 1 & a = (a)(a) - (1)(1) = a^2 - 1
det(A) = 1 cdot (a - 1) - 1 cdot (1 - a) + (-a) cdot (a^2 - 1) = (a - 1) - (1 - a) - a(a^2 - 1)
det(A) = a - 1 - 1 + a - a^3 + a = 3a - 2 - a^3
Substituindo na expressão do determinante:
det(A) = -a^3 + 3a - 2
Simplificando:
Então:
Passo 4
Agora, vamos achar para quais valores de -a^3 + 3a - 2 = 0 Rightarrow a^3 - 3a + 2 = 0 o determinante é zero, ou seja:
1^3 - 3 cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Vamos resolver essa equação cúbica. Tentamos valores inteiros que possam ser raízes. Testando a^3 - 3a + 2 = (a - 1)(a^2 + a - 2) :
a = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, é uma raiz. Fazendo a fatoração:
Agora, resolvemos :
Logo, as raízes são e .
Passo 5
Então, temos que o determinante é zero para x + y - z = 0 x + y - z = 1 x + y - z = -1 e x + y + 2z = 0 -2x + y - z = 4 x - 2y - z = 2 . Para esses valores, o sistema pode ser indeterminado ou impossível. Para os outros valores de , o determinante é diferente de zero, então o sistema tem uma única solução.
Vamos verificar cada caso:
Para e :
⇒ Sistema determinado e tem uma única solução.
Para :
Calculamos o determinante e vimos que é zero.
Precisamos verificar se o sistema é compatível ou não. Substituindo nas equações:As três equações se tornam inconsistentes (0 ≠ 1 e 0 ≠ -1), então o sistema é impossível.
Para :
Com , calculamos as equações:Resolvendo esse sistema, podemos encontrar múltiplas soluções, indicando que o sistema é indeterminado.
Resposta
O sistema é determinado e possui uma única solução para todo valor de diferente de 1 e -2. Para , o sistema é impossível, e para , o sistema é indeterminado.