Discuta (diga se é possível ou impossível, determinado ou indeterminado) os sistemas lineares (em função de )
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis , e , e um parâmetro . O problema quer que a gente determine para quais valores de o sistema é possível ou impossível, e se, sendo possível, ele tem uma única solução (determinado) ou várias soluções (indeterminado). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e análise de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Temos:
A matriz dos coeficientes é:
E o vetor dos termos constantes é:
Passo 3
Para saber se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo se o sistema é compatível ou não.
O determinante de é calculado assim:
Vamos calcular cada menor:
Substituindo na expressão do determinante:
Simplificando:
Então:
Passo 4
Agora, vamos achar para quais valores de o determinante é zero, ou seja:
Vamos resolver essa equação cúbica. Tentamos valores inteiros que possam ser raízes. Testando :
Então, é uma raiz. Fazendo a fatoração:
Agora, resolvemos :
Logo, as raízes são e .
Passo 5
Então, temos que o determinante é zero para e . Para esses valores, o sistema pode ser indeterminado ou impossível. Para os outros valores de , o determinante é diferente de zero, então o sistema tem uma única solução.
Vamos verificar cada caso:
Para e :
⇒ Sistema determinado e tem uma única solução.
Para :
Calculamos o determinante e vimos que é zero.
Precisamos verificar se o sistema é compatível ou não. Substituindo nas equações:As três equações se tornam inconsistentes (0 ≠ 1 e 0 ≠ -1), então o sistema é impossível.
Para :
Com , calculamos as equações:Resolvendo esse sistema, podemos encontrar múltiplas soluções, indicando que o sistema é indeterminado.
Resposta
O sistema é determinado e possui uma única solução para todo valor de diferente de 1 e -2. Para , o sistema é impossível, e para , o sistema é indeterminado.