Determine o menor inteiro positivo tal que a matriz seja inversível e calcule .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o menor número inteiro positivo que faz a matriz ser inversível, ou seja, que tenha um inverso . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de determinante de uma matriz, que nos ajuda a saber se a matriz é inversível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inverso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz A = 2 & 1 & 1 1 & a & 2 2 & 2 & a . Para a matriz det(A) = 2 cdot (a cdot a - 2 cdot 2) - 1 cdot (1 cdot a - 2 cdot 2) + 1 cdot (1 cdot 2 - a cdot 2) :
O determinante é calculado assim:
Passo 3
Vamos calcular cada parte passo a passo:
Primeiro termo: det(A) = 2(a^2 - 4) - (a - 4) + (2 - 2a)
Segundo termo:
Terceiro termo:
Agora, somando tudo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
det(A) = 2a^2 - 8 - a + 4 + 2 - 2a
Agora, juntando os termos semelhantes:
det(A) = 2a^2 - 3a - 2
Passo 5
Para a matriz 2a^2 - 3a - 2 neq 0 ser inversível, o determinante precisa ser diferente de zero:
Vamos resolver a equação para encontrar os valores de que fazem o determinante zero. Isso nos ajuda a saber quais valores não podem ser usados.
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática a = 3 pm raiz9 + 164 = 3 pm raiz254 = 3 pm 54 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
a = 84 = 2 e a = -24 = -0,5
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Os valores que anulam o determinante são e . Portanto, para a matriz ser inversível, não pode ser nenhum desses valores.
Como estamos procurando o menor inteiro positivo, precisamos escolher o menor número inteiro maior que zero que não seja 2. O menor inteiro positivo é 1.
Resposta
O menor inteiro positivo A = 2 & 1 & 1 1 & 1 & 2 2 & 2 & 1 que torna a matriz A^-1 = -1 & 2 & 1 2 & -3 & 2 1 & 2 & -1 inversível é . Calculando a inversa com :