Determine o menor inteiro positivo tal que a matriz seja inversível e calcule .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o menor número inteiro positivo que faz a matriz ser inversível, ou seja, que tenha um inverso . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de determinante de uma matriz, que nos ajuda a saber se a matriz é inversível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inverso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz . Para a matriz :
O determinante é calculado assim:
Passo 3
Vamos calcular cada parte passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Agora, somando tudo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Agora, juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Para a matriz ser inversível, o determinante precisa ser diferente de zero:
Vamos resolver a equação para encontrar os valores de que fazem o determinante zero. Isso nos ajuda a saber quais valores não podem ser usados.
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Os valores que anulam o determinante são e . Portanto, para a matriz ser inversível, não pode ser nenhum desses valores.
Como estamos procurando o menor inteiro positivo, precisamos escolher o menor número inteiro maior que zero que não seja 2. O menor inteiro positivo é 1.
Resposta
O menor inteiro positivo que torna a matriz inversível é . Calculando a inversa com :