Determine o menor inteiro positivo tal que a matriz seja inversível e calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o menor número inteiro positivo que faz a matriz ser inversível, ou seja, que tenha um inverso . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de determinante de uma matriz, que nos ajuda a saber se a matriz é inversível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inverso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz . Para a matriz :
O determinante é calculado assim:

Passo 3

Vamos calcular cada parte passo a passo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
Agora, somando tudo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Agora, juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Para a matriz ser inversível, o determinante precisa ser diferente de zero:
Vamos resolver a equação para encontrar os valores de que fazem o determinante zero. Isso nos ajuda a saber quais valores não podem ser usados.

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 7

Os valores que anulam o determinante são e . Portanto, para a matriz ser inversível, não pode ser nenhum desses valores.
Como estamos procurando o menor inteiro positivo, precisamos escolher o menor número inteiro maior que zero que não seja 2. O menor inteiro positivo é 1.

Resposta

O menor inteiro positivo que torna a matriz inversível é . Calculando a inversa com :
Após os cálculos, a inversa é:

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