Uma reta é paralela à reta , passa pelo ponto . Encontre o ângulo entre as retas .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem duas retas no espaço e precisa achar o ângulo entre elas. A reta é paralela à reta que é dada pelas equações paramétricas , , , e passa pelo ponto . A outra reta é a com as equações , , . Para resolver, vamos precisar entender vetores diretores das retas e usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os vetores diretores das retas. A reta é dada por , , . Os coeficientes de nas equações paramétricas dão o vetor diretor dessa reta. Então, o vetor diretor da reta é:
Passo 3
Como a reta é paralela à reta , o vetor diretor da reta será o mesmo de . Portanto, o vetor diretor da reta também é:
Passo 4
Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta . A reta é dada por , , . Extraindo os coeficientes de , o vetor diretor da reta é:
Passo 5
Para encontrar o ângulo entre as retas e , usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores:
Onde é o produto escalar dos vetores diretores, e , são os módulos (comprimentos) desses vetores.