Uma reta r é paralela à reta s: x=-3 t, y=-2+t, z=1+2 t, e passa pelo ponto A(1,0,-2). Encontre o ângulo entre as retas re u: x=2-t, y=-2+3 t, z=-1+t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem duas retas no espaço e precisa achar o ângulo entre elas. A reta r é paralela à reta s que é dada pelas equações paramétricas x = -3t, y = -2 + t, z = 1 + 2t, e passa pelo ponto A(1, 0, -2). A outra reta é a u com as equações x = 2 - t, y = -2 + 3t, z = -1 + t. Para resolver, vamos precisar entender vetores diretores das retas e usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os vetores diretores das retas. A reta s é dada por x = -3t, y = -2 + t, z = 1 + 2t. Os coeficientes de t nas equações paramétricas dão o vetor diretor dessa reta. Então, o vetor diretor da reta s é:
ds = -3 1 2

Passo 3

Como a reta r é paralela à reta s, o vetor diretor da reta r será o mesmo de s. Portanto, o vetor diretor da reta r também é:
dr = -3 1 2

Passo 4

Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta u. A reta u é dada por x = 2 - t, y = -2 + 3t, z = -1 + t. Extraindo os coeficientes de t, o vetor diretor da reta u é:
du = -1 3 1

Passo 5

Para encontrar o ângulo entre as retas r e u, usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores:
cos theta = dr cdot du|dr| , |du|
Onde dr cdot du é o produto escalar dos vetores diretores, e |dr|, |du| são os módulos (comprimentos) desses vetores.

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar:
dr cdot du = (-3)(-1) + (1)(3) + (2)(1) = 3 + 3 + 2 = 8
Agora, os módulos dos vetores:
|dr| = raiz(-3)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14
|du| = raiz(-1)^2 + 3^2 + 1^2 = raiz1 + 9 + 1 = raiz11
Substituindo na fórmula:
cos theta = 8raiz14 times raiz11 = 8raiz154 approx 812,4097 approx 0,6446

Resposta

O ângulo entre as retas r e u é aproximadamente 50,55^circ.

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