Uma reta é paralela à reta , passa pelo ponto . Encontre o ângulo entre as retas .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem duas retas no espaço e precisa achar o ângulo entre elas. A reta é paralela à reta que é dada pelas equações paramétricas , , , e passa pelo ponto . A outra reta é a com as equações , , . Para resolver, vamos precisar entender vetores diretores das retas e usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os vetores diretores das retas. A reta é dada por , , . Os coeficientes de nas equações paramétricas dão o vetor diretor dessa reta. Então, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Como a reta é paralela à reta , o vetor diretor da reta será o mesmo de . Portanto, o vetor diretor da reta também é:

Passo 4

Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta . A reta é dada por , , . Extraindo os coeficientes de , o vetor diretor da reta é:

Passo 5

Para encontrar o ângulo entre as retas e , usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores:
Onde é o produto escalar dos vetores diretores, e , são os módulos (comprimentos) desses vetores.

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar:
Agora, os módulos dos vetores:
Substituindo na fórmula:

Resposta

O ângulo entre as retas e é aproximadamente .

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