Uma reta é paralela à reta , passa pelo ponto . Encontre o ângulo entre as retas .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem duas retas no espaço e precisa achar o ângulo entre elas. A reta é paralela à reta que é dada pelas equações paramétricas , , , e passa pelo ponto . A outra reta é a com as equações , , . Para resolver, vamos precisar entender vetores diretores das retas e usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os vetores diretores das retas. A reta é dada por , , . Os coeficientes de nas equações paramétricas dão o vetor diretor dessa reta. Então, o vetor diretor da reta é:
Passo 3
Como a reta r é paralela à reta s, o vetor diretor da reta r será o mesmo de s. Portanto, o vetor diretor da reta r também é:
dr = -3 1 2
Passo 4
Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta u. A reta u é dada por x = 2 - t, y = -2 + 3t, z = -1 + t. Extraindo os coeficientes de t, o vetor diretor da reta u é:
du = -1 3 1
Passo 5
Para encontrar o ângulo entre as retas r e u, usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores:
cos theta = dr cdot du|dr| , |du|
Onde dr cdot du é o produto escalar dos vetores diretores, e |dr|, |du| são os módulos (comprimentos) desses vetores.
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar:
dr cdot du = (-3)(-1) + (1)(3) + (2)(1) = 3 + 3 + 2 = 8