Dado um sistema massa-mola na horizontal, aplicando a lei da conservação de energia, encontre a equação para determinar a posição x em que as energias, cinética e potencial, tenham o mesmo valor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a posição em que as energias cinética e potencial de um sistema massa-mola na horizontal são iguais. Vamos usar a Lei da Conservação de Energia para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas da energia cinética e da energia potencial elástica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ( Ec = 12 m v^2 ) de um objeto é dada por:
onde é a massa e é a velocidade.

Passo 3

Agora, a energia potencial elástica ( Ep = 12 k x^2 ) armazenada na mola é:
onde é a constante elástica da mola e é a deformação da mola (a posição que queremos encontrar).

Passo 4

Segundo a Lei da Conservação de Energia, a energia total do sistema permanece constante. Então, a energia mecânica total E = Ec + Ep é a soma da energia cinética e da energia potencial:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar a posição Ec = Ep onde a energia cinética é igual à energia potencial . Ou seja:

Passo 6

Substituindo as fórmulas de 12 m v^2 = 12 k x^2 e na equação acima:

Passo 7

Podemos simplificar essa equação multiplicando ambos os lados por 2:
m v^2 = k x^2

Passo 8

Agora, isolamos x^2 = m v^2k dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Para encontrar x = raizm v^2k , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A posição x = raizm v^2k onde as energias cinética e potencial são iguais é:

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