Dado um subconjunto
no espaço vetorial
, seja
o conjunto das combinações convexas
dos elementos de
. Prove que
é um conjunto convexo, que
e que se
é qualquer subconjunto convexo de
contendo
então
. (Por este motivo, diz-se que
é o menor subconjunto convexo de E que contém
chama-se a envoltória convexa do conjunto
.)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
dentro de um espaço vetorial
. Queremos mostrar que o conjunto
, formado pelas combinações convexas dos elementos de
, tem três propriedades principais:
-
é um conjunto convexo. -
está contido em . - Se
é qualquer conjunto convexo que contém , então também contém .
Para resolver isso, vamos lembrar que uma combinação convexa de vetores é uma soma ponderada desses vetores onde os coeficientes são não negativos e a soma dos coeficientes é igual a 1. Vamos usar essas definições passo a passo para provar cada afirmação.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
é um conjunto convexo. Por definição, um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos nele, a combinação convexa desses pontos também está no conjunto.
Vamos pegar dois elementos quaisquer de
:
onde
e
.
Agora, consideramos uma combinação convexa de
e
:
onde
.
Substituindo
e
:
Isso pode ser reescrito como:
Note que todos os coeficientes são não negativos e a soma deles é:
Portanto,
também é uma combinação convexa de elementos de
, ou seja, está em
. Assim,
é convexo.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
. Para qualquer elemento
de
, podemos considerar a combinação convexa com apenas um termo:
onde
são quaisquer vetores em
. Aqui, o coeficiente de
é 1 e os demais são 0, satisfazendo
e
. Portanto,
está em
para todo
, ou seja,
.
Passo 4
Por último, vamos provar que se
é qualquer conjunto convexo que contém
, então
.
Suponha que
é convexo e que
. Como
é convexo, todas as combinações convexas de elementos em
também estarão em
. Isso acontece porque, ao formar combinações convexas de elementos de
, estamos basicamente construindo
, e como
é convexo e contém
, todas essas combinações já estão dentro de
. Logo,
.
Resposta
Concluímos que
é um conjunto convexo, que
está contido em
, e que qualquer conjunto convexo que contém
também contém
. Portanto,
é a menor envoltória convexa de
no espaço vetorial
.