Dado um subconjunto X no espaço vetorial E, seja C(X) o conjunto das combinações convexas t1 v1+cdots+tk vk(ti >= 0, Sigma ti=1) dos elementos de X. Prove que C(X) é um conjunto convexo, que X subset C(X) e que se C^prime é qualquer subconjunto convexo de E contendo X então C^prime supset C(X). (Por este motivo, diz-se que C(X) é o menor subconjunto convexo de E que contém X C(X) chama-se a envoltória convexa do conjunto X.)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto dentro de um espaço vetorial . Queremos mostrar que o conjunto , formado pelas combinações convexas dos elementos de , tem três propriedades principais:
  1. é um conjunto convexo.
  2. está contido em .
  3. Se é qualquer conjunto convexo que contém , então também contém .
Para resolver isso, vamos lembrar que uma combinação convexa de vetores é uma soma ponderada desses vetores onde os coeficientes são não negativos e a soma dos coeficientes é igual a 1. Vamos usar essas definições passo a passo para provar cada afirmação.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que c1 = t1 v1 + t2 v2 + cdots + tk vk é um conjunto convexo. Por definição, um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos nele, a combinação convexa desses pontos também está no conjunto.
Vamos pegar dois elementos quaisquer de c2 = s1 w1 + s2 w2 + cdots + sm wm :
lambda c1 + (1 - lambda) c2
lambda (t1 v1 + cdots + tk vk) + (1 - lambda)(s1 w1 + cdots + sm wm)
onde (lambda t1) v1 + cdots + (lambda tk) vk + ((1 - lambda)s1) w1 + cdots + ((1 - lambda)sm) wm e lambda sum ti + (1 - lambda) sum sj = lambda cdot 1 + (1 - lambda) cdot 1 = 1 .
Agora, consideramos uma combinação convexa de e :
onde .
Substituindo e :
Isso pode ser reescrito como:
Note que todos os coeficientes são não negativos e a soma deles é:
Portanto, também é uma combinação convexa de elementos de , ou seja, está em . Assim, é convexo.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que v = 1 cdot v + 0 cdot u2 + cdots + 0 cdot uk . Para qualquer elemento de , podemos considerar a combinação convexa com apenas um termo:
onde são quaisquer vetores em . Aqui, o coeficiente de é 1 e os demais são 0, satisfazendo e . Portanto, está em para todo , ou seja, .

Passo 4

Por último, vamos provar que se é qualquer conjunto convexo que contém , então .
Suponha que é convexo e que . Como é convexo, todas as combinações convexas de elementos em também estarão em . Isso acontece porque, ao formar combinações convexas de elementos de , estamos basicamente construindo , e como é convexo e contém , todas essas combinações já estão dentro de . Logo, .

Resposta

Concluímos que é um conjunto convexo, que está contido em , e que qualquer conjunto convexo que contém também contém . Portanto, é a menor envoltória convexa de no espaço vetorial .

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