Dados os vetores v1=(1,2,1), v2=(2,1,2), v3=(3,3,2) e v4=(1,5,-1) em R^3, determine os vetores u=v1-3 v2+2 v3-v4, v=v1+v2-v3-v4 e w=v3-13 v2-43 v1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro vetores no espaço tridimensional, ou seja, em R^3. O que a gente precisa fazer é combinar esses vetores de maneiras específicas para encontrar três novos vetores: u, v e w. Para isso, vamos usar operações de soma e multiplicação por escalar com os vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor u. A expressão para u é:
u = v1 - 3v2 + 2v3 - v4
Isso significa que a gente vai multiplicar cada vetor pelos seus respectivos coeficientes e depois somar tudo.

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente:
  • v1 = (1, 2, 1)
  • -3v2 = -3 times (2, 1, 2) = (-6, -3, -6)
  • 2v3 = 2 times (3, 3, 2) = (6, 6, 4)
  • -v4 = -1 times (1, 5, -1) = (-1, -5, 1)

Passo 4

Agora, vamos somar todos esses resultados componente a componente:
u = (1, 2, 1) + (-6, -3, -6) + (6, 6, 4) + (-1, -5, 1)
Vamos somar cada componente:
  • Componente x: 1 - 6 + 6 - 1 = 0
  • Componente y: 2 - 3 + 6 - 5 = 0
  • Componente z: 1 - 6 + 4 + 1 = 0

Passo 5

Então, o vetor u é:
u = (0, 0, 0)

Passo 6

Agora, vamos calcular o vetor v. A expressão para v é:
v = v1 + v2 - v3 - v4
Vamos seguir o mesmo processo: multiplicar e somar.

Passo 7

Calculando cada termo:
  • v1 = (1, 2, 1)
  • v2 = (2, 1, 2)
  • -v3 = -1 times (3, 3, 2) = (-3, -3, -2)
  • -v4 = (-1, -5, 1)

Passo 8

Somando os componentes:
v = (1, 2, 1) + (2, 1, 2) + (-3, -3, -2) + (-1, -5, 1)
  • Componente x: 1 + 2 - 3 - 1 = -1
  • Componente y: 2 + 1 - 3 - 5 = -5
  • Componente z: 1 + 2 - 2 + 1 = 2

Passo 9

Portanto, o vetor v é:
v = (-1, -5, 2)

Passo 10

Por último, vamos calcular o vetor w. A expressão para w é:
w = v3 - 13v2 - 43v1
Vamos multiplicar cada vetor pelos coeficientes indicados.

Passo 11

Calculando cada termo:
  • v3 = (3, 3, 2)
  • -13v2 = -13 times (2, 1, 2) = (-23, -13, -23)
  • -43v1 = -43 times (1, 2, 1) = (-43, -83, -43)

Passo 12

Agora, somamos tudo:
w = (3, 3, 2) + (-23, -13, -23) + (-43, -83, -43)
Somando componente a componente:
  • Componente x: 3 - 23 - 43 = 3 - 2 = 1
  • Componente y: 3 - 13 - 83 = 3 - 3 = 0
  • Componente z: 2 - 23 - 43 = 2 - 2 = 0

Resposta

Os vetores solicitados são:
u = (0, 0, 0)
v = (-1, -5, 2)
w = (1, 0, 0)

Exercícios relacionados