Dado um tetraedro regular de aresta 6 cm, assinale os pontos que dividem cada aresta em três partes iguais. Corte o tetraedro pelos planos que passam pelos três pontos de divisão mais próximos de cada vértice e remova os pequenos tetraedros regulares que ficaram formados. A soma dos comprimentos de todas as arestas do sólido resultante, em centímetros, é
A) 56.
B) 32
C) 30
D) 36.
E) 48.
A) 56.
B) 32
C) 30
D) 36.
E) 48.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos um tetraedro regular com arestas de 6 cm. Precisamos encontrar os pontos que dividem cada aresta em três partes iguais, ou seja, cada segmento terá 2 cm. Depois, vamos cortar o tetraedro com planos que passam por esses pontos mais próximos de cada vértice, removendo pequenos tetraedros. Por fim, vamos calcular a soma de todas as arestas do sólido que sobrará. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como divisão de segmentos em partes iguais e propriedades de tetraedros.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos que dividem cada aresta em três partes iguais. Como cada aresta mede 6 cm, cada divisão terá 2 cm. Em um tetraedro regular, cada vértice está conectado a três arestas. Portanto, perto de cada vértice, teremos três pontos a 2 cm de distância.
Passo 3
Agora, vamos imaginar os planos que passam por esses três pontos próximos a cada vértice. Ao cortar o tetraedro com esses planos, estamos removendo pequenos tetraedros menores de cada canto do tetraedro original.
Passo 4
Esses pequenos tetraedros removidos também são regulares e suas arestas medem 2 cm, já que delimitam as divisões das arestas do tetraedro maior. Como existem 4 vértices em um tetraedro, vamos remover 4 tetraedros menores.
Passo 5
Após remover os pequenos tetraedros, o sólido resultante terá suas arestas formadas pelas interseções dos planos de corte e pelas arestas remanescentes do tetraedro original. Precisamos contar todas essas arestas e somar seus comprimentos.
Passo 6
Calculando, cada aresta do sólido resultante será composta por segmentos de 2 cm e 4 cm (já que removemos 2 cm de cada extremidade das arestas originais de 6 cm). Além disso, os cortes criam novas arestas internas que também devem ser contabilizadas.
Passo 7
Somando todas as arestas internas e externas do sólido resultante, obtemos a soma total dos comprimentos das arestas.
Resposta
A soma dos comprimentos de todas as arestas do sólido resultante é 36 cm.