Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A(2,1,-1), B(3,0,1) e C(2,-1,3). Calcular as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.
RESP: D(0,-7,0) ou D(0,8,0)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tetraedro com volume igual a 5 e três vértices já conhecidos: , e . A quarta vértice está sobre o eixo , ou seja, suas coordenadas serão da forma . Nosso objetivo é encontrar os possíveis valores de que fazem o volume do tetraedro ser 5. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de volume de tetraedros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um tetraedro dado por quatro pontos no espaço. O volume V = 16 | det xB - xA & yB - yA & zB - zA xC - xA & yC - yA & zC - zA xD - xA & yD - yA & zD - zA | pode ser encontrado usando o determinante formado pelos vetores que vão de um vértice ao outro. A fórmula é:
Essa fórmula nos dá o volume absoluto, então vamos trabalhar com o valor positivo de 5.

Passo 3

Vamos identificar os vetores:
AB = (3-2, 0-1, 1-(-1)) = (1, -1, 2)
AC = (2-2, -1-1, 3-(-1)) = (0, -2, 4)
AD = (0-2, y-1, 0-(-1)) = (-2, y-1, 1)
Esses vetores serão as colunas da nossa matriz para calcular o determinante.

Passo 4

Vamos montar a matriz com esses vetores:
1 & 0 & -2 -1 & -2 & y-1 2 & 4 & 1
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 5

Calculando o determinante passo a passo:
det = 1 cdot ( -2 cdot 1 - (y-1) cdot 4 ) - 0 cdot ( -1 cdot 1 - (y-1) cdot 2 ) + (-2) cdot ( -1 cdot 4 - (-2) cdot 2 )
Simplificando:
det = 1 cdot (-2 - 4y + 4) + 0 + (-2) cdot (-4 + 4)
det = 1 cdot (2 - 4y) + 0 + (-2) cdot 0
det = 2 - 4y

Passo 6

Sabemos que o volume 5 = 16 |2 - 4y| . Usando a fórmula do volume:
30 = |2 - 4y|
Multiplicando ambos os lados por 6:
2 - 4y = 30 ou 2 - 4y = -30
Isso nos dá duas equações:

Passo 7

Resolvendo a primeira equação:
2 - 4y = 30
-4y = 28
y = -7
Agora, a segunda equação:
2 - 4y = -30
-4y = -32
y = 8

Resposta

As coordenadas do quarto vértice são ou .

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