Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices e . Calcular as coordenadas do quarto vértice , sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tetraedro com volume igual a 5 e três vértices já conhecidos: , e . A quarta vértice está sobre o eixo , ou seja, suas coordenadas serão da forma . Nosso objetivo é encontrar os possíveis valores de que fazem o volume do tetraedro ser 5. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de volume de tetraedros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um tetraedro dado por quatro pontos no espaço. O volume pode ser encontrado usando o determinante formado pelos vetores que vão de um vértice ao outro. A fórmula é:
Essa fórmula nos dá o volume absoluto, então vamos trabalhar com o valor positivo de 5.
Passo 3
Vamos identificar os vetores:
AB = (3-2, 0-1, 1-(-1)) = (1, -1, 2)
AC = (2-2, -1-1, 3-(-1)) = (0, -2, 4)
AD = (0-2, y-1, 0-(-1)) = (-2, y-1, 1)
Esses vetores serão as colunas da nossa matriz para calcular o determinante.
Passo 4
Vamos montar a matriz com esses vetores:
1 & 0 & -2 -1 & -2 & y-1 2 & 4 & 1
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.