Dados os vetores u=(1,-1,1) e v=(2,-3,4), calcular:
b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u
RESP: a) A=raiz6 ua b) h=raiz2 u c

Passo 1

Vamos resolver a parte b do exercício. Temos dois vetores no espaço: u = (1, -1, 1) e v = (2, -3, 4). O que precisamos calcular é a altura do paralelogramo formada por esses vetores, em relação à base definida pelo vetor u. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a área de um paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores. Ou seja:
Área = |u times v| Á
E a altura relativa a um dos lados (neste caso, a base u) é a área dividida pelo comprimento desse lado:
h = |u times v||u|

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v. Para dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), o produto vetorial é dado por:
u times v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
Substituindo os valores:
u times v = (-1 cdot 4 - 1 cdot (-3), 1 cdot 2 - 1 cdot 4, 1 cdot (-3) - (-1) cdot 2) = (-4 + 3, 2 - 4, -3 + 2) = (-1, -2, -1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial:
|u times v| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 5

Em seguida, calculamos o comprimento do vetor u:
|u| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da altura:
h = |u times v||u| = raiz6raiz3 = raiz63 = raiz2

Resposta

A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u é h = raiz2 unidades.

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