O tamanho de um parafuso tem a seguinte função densidade de probabilidade,
se
. Encontre o valor de k para que a função seja uma função densidade de probabilidade.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a densidade de probabilidade do tamanho de um parafuso, dada por $ f_X(x) = k(x - 1)(3 - x) $ para $ x $ entre 1 e 3. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ k $ que faz dessa função uma verdadeira função densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar entender que a soma (ou integral) das probabilidades em todo o espaço possível deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser uma densidade de probabilidade válida, a integral dela em todo o intervalo deve ser igual a 1. No nosso caso, o intervalo é de 1 a 3. Então, temos:
Substituindo $ f_X(x) $ pela expressão dada:
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de 3 e 1:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = 1 $:
Subtraindo:
Portanto:
Resposta
Resolvendo para $ k $: