O tamanho de um parafuso tem a seguinte função densidade de probabilidade, fX(x)=k(x-1)(3-x) se x in[1,3]. Encontre o valor de k para que a função seja uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a densidade de probabilidade do tamanho de um parafuso, dada por $ f_X(x) = k(x - 1)(3 - x) $ para $ x $ entre 1 e 3. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ k $ que faz dessa função uma verdadeira função densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar entender que a soma (ou integral) das probabilidades em todo o espaço possível deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser uma densidade de probabilidade válida, a integral dela em todo o intervalo deve ser igual a 1. No nosso caso, o intervalo é de 1 a 3. Então, temos:
integral1^3 fX(x) , dx = 1
Substituindo $ f_X(x) $ pela expressão dada:
fX(x)

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo:
(x - 1)(3 - x) = 3x - x^2 - 3 + x = -x^2 + 4x - 3
Portanto, a integral fica:
integral1^3 k(-x^2 + 4x - 3) , dx = 1

Passo 4

Vamos calcular a integral:
k integral1^3 (-x^2 + 4x - 3) , dx = 1
Integrando termo a termo:
k [ -x^33 + 2x^2 - 3x ]1^3 = 1

Passo 5

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de 3 e 1:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = 1 $:
-3^33 + 2(3)^2 - 3(3) = -9 + 18 - 9 = 0
Subtraindo:
x = 1
Portanto:
-1^33 + 2(1)^2 - 3(1) = -13 + 2 - 3 = -13 -1 = -43

Resposta

Resolvendo para $ k $:
k

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