Dado um vetor u=(x, y, z), ache as projeções deste vetor sobre cada um dos vetores da base canônica do R^3.

Passo 1

Beleza! A gente tem um vetor e precisa encontrar as projeções desse vetor sobre cada um dos vetores da base canônica do . Isso envolve entender o que é projeção de vetores e como calcular isso usando álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é projeção. Projetar um vetor projv u = ( u cdot vv cdot v ) v sobre outro vetor significa encontrar a “sombra” de na direção de . Matematicamente, a projeção de sobre é dada pela fórmula:
Aqui, é o produto escalar dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores da base canônica no e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) . Eles são:
Esses vetores apontam nas direções dos eixos , e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular a projeção de proje1 u = ( u cdot e1e1 cdot e1 ) e1 = ( x cdot 1 + y cdot 0 + z cdot 01 ) e1 = x cdot e1 = (x, 0, 0) sobre cada um desses vetores. Como os vetores da base canônica são vetores unitários (com magnitude 1), o cálculo fica mais simples.
Primeiro, a projeção sobre :

Passo 5

Em seguida, a projeção sobre proje2 u = ( u cdot e2e2 cdot e2 ) e2 = ( x cdot 0 + y cdot 1 + z cdot 01 ) e2 = y cdot e2 = (0, y, 0) :

Passo 6

Por último, a projeção sobre proje3 u = ( u cdot e3e3 cdot e3 ) e3 = ( x cdot 0 + y cdot 0 + z cdot 11 ) e3 = z cdot e3 = (0, 0, z) :

Resposta

As projeções do vetor proje1 u = (x, 0, 0) sobre os vetores da base canônica são:
proje2 u = (0, y, 0)
proje3 u = (0, 0, z)

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