Dado um vetor
, ache as projeções deste vetor sobre cada um dos vetores da base canônica do
.
Passo 1
Beleza! A gente tem um vetor
e precisa encontrar as projeções desse vetor sobre cada um dos vetores da base canônica do
. Isso envolve entender o que é projeção de vetores e como calcular isso usando álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é projeção. Projetar um vetor
sobre outro vetor
significa encontrar a “sombra” de
na direção de
. Matematicamente, a projeção de
sobre
é dada pela fórmula:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores da base canônica no
. Eles são:
Esses vetores apontam nas direções dos eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular a projeção de
sobre cada um desses vetores. Como os vetores da base canônica são vetores unitários (com magnitude 1), o cálculo fica mais simples.
Primeiro, a projeção sobre
:
Passo 5
Em seguida, a projeção sobre
:
Passo 6
Por último, a projeção sobre
:
Resposta
As projeções do vetor
sobre os vetores da base canônica são: