Encontrar uma expressão algébrica que diz que o ponto P(x, y) é equidistante dos pontos (-3,5) e (7,-9). Resp: 5 x-7 y=24.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto que está à mesma distância de dois pontos específicos: e . O conteúdo envolvido aqui é a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância e igualar as distâncias de para cada um dos pontos dados.

Passo 2

A fórmula para calcular a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e é:
Vamos aplicar essa fórmula para calcular as distâncias de para e para .

Passo 3

Calculando a distância de d1 = raiz(x - (-3))^2 + (y - 5)^2 = raiz(x + 3)^2 + (y - 5)^2 para d2 = raiz(x - 7)^2 + (y - (-9))^2 = raiz(x - 7)^2 + (y + 9)^2 :
Calculando a distância de para :

Passo 4

Como raiz(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = raiz(x - 7)^2 + (y + 9)^2 está equidistante dos dois pontos, as distâncias são iguais:
(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = (x - 7)^2 + (y + 9)^2
Para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos:
(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 10y + 25) = (x^2 - 14x + 49) + (y^2 + 18y + 81)
Simplificando:
x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = x^2 - 14x + 49 + y^2 + 18y + 81

Passo 6

Vamos eliminar termos iguais dos dois lados:
6x - 10y + 34 = -14x + 18y + 130
Agora, vamos reunir os termos semelhantes:
6x + 14x - 10y - 18y = 130 - 34
20x - 28y = 96

Passo 7

Simplificando a equação dividindo todos os termos por 4:
5x - 7y = 24

Resposta

A expressão algébrica que representa que o ponto 5x - 7y = 24 é equidistante dos pontos e é:

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