Dado o vetor v = (1, -3), determinar o vetor paralelo a v que tenha:
a) Sentido contrário ao de v e duas vezes o módulo de v.
b) O mesmo sentido de v e módulo 2.
c) Sentido contrário ao de v e módulo 4.
a) Sentido contrário ao de v e duas vezes o módulo de v.
b) O mesmo sentido de v e módulo 2.
c) Sentido contrário ao de v e módulo 4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o vetor v = (1, -3) e precisa encontrar outros vetores que são paralelos a v mas que atendem a algumas condições específicas de direção e tamanho. Para isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos, sentido e módulo (ou magnitude) dos vetores.
Passo 2
Parte a: Vetor com sentido contrário ao de v e duas vezes o módulo de v.
Primeiro, vamos entender o que significa ter sentido contrário. Dois vetores são opostos se um deles é o negativo do outro. Ou seja, se u é oposto a v, então u = -v.
Agora, sobre o módulo: o módulo de um vetor é o seu “tamanho”. Se queremos um vetor com duas vezes o módulo de v, basta multiplicar v por 2.
Então, combinando os dois requisitos:
- Sentido contrário: multiplicar por -1.
- Módulo duas vezes maior: multiplicar por 2.
Multiplicando ambos:
u = -2 × v
u = -2 × v
Calculando:
u = -2 × (1, -3) = (-2 × 1, -2 × -3) = (-2, 6)
u = -2 × (1, -3) = (-2 × 1, -2 × -3) = (-2, 6)
Passo 3
Parte b: Vetor com mesmo sentido de v e módulo 2.
Aqui, queremos que o vetor tenha o mesmo sentido, então não precisamos multiplicar por -1. Apenas ajustamos o módulo para 2.
Para isso, usamos a ideia de vetores unitários. Primeiro, encontramos o vetor unitário na direção de v:
Calculando o módulo de v:
Então, o vetor unitário é:
Agora, para ter módulo 2, multiplicamos o vetor unitário por 2:
Passo 4
Parte c: Vetor com sentido contrário ao de v e módulo 4.
Aqui, combinamos as duas condições:
- Sentido contrário: multiplicar por -1.
- Módulo 4: ajustar o tamanho para 4.
Vamos começar encontrando o vetor unitário na direção de -v:
Agora, multiplicamos pelo módulo desejado (4):
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)