Dado o vetor v = (1, -3), determinar o vetor paralelo a v que tenha:
a) Sentido contrário ao de v e duas vezes o módulo de v.
b) O mesmo sentido de v e módulo 2.
c) Sentido contrário ao de v e módulo 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o vetor v = (1, -3) e precisa encontrar outros vetores que são paralelos a v mas que atendem a algumas condições específicas de direção e tamanho. Para isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos, sentido e módulo (ou magnitude) dos vetores.

Passo 2

Parte a: Vetor com sentido contrário ao de v e duas vezes o módulo de v.
Primeiro, vamos entender o que significa ter sentido contrário. Dois vetores são opostos se um deles é o negativo do outro. Ou seja, se u é oposto a v, então u = -v.
Agora, sobre o módulo: o módulo de um vetor é o seu “tamanho”. Se queremos um vetor com duas vezes o módulo de v, basta multiplicar v por 2.
Então, combinando os dois requisitos:
  • Sentido contrário: multiplicar por -1.
  • Módulo duas vezes maior: multiplicar por 2.
Multiplicando ambos:
u = -2 × v
Calculando:
u = -2 × (1, -3) = (-2 × 1, -2 × -3) = (-2, 6)

Passo 3

Parte b: Vetor com mesmo sentido de v e módulo 2.
Aqui, queremos que o vetor tenha o mesmo sentido, então não precisamos multiplicar por -1. Apenas ajustamos o módulo para 2.
Para isso, usamos a ideia de vetores unitários. Primeiro, encontramos o vetor unitário na direção de v:
vetor unitário = v|v| á
Calculando o módulo de v:
|v| = raiz1^2 + (-3)^2 = raiz1 + 9 = raiz10
Então, o vetor unitário é:
v|v| = ( 1raiz10, -3raiz10 )
Agora, para ter módulo 2, multiplicamos o vetor unitário por 2:
u = 2 times ( 1raiz10, -3raiz10 ) = ( 2raiz10, -6raiz10 )

Passo 4

Parte c: Vetor com sentido contrário ao de v e módulo 4.
Aqui, combinamos as duas condições:
  • Sentido contrário: multiplicar por -1.
  • Módulo 4: ajustar o tamanho para 4.
Vamos começar encontrando o vetor unitário na direção de -v:
vetor unitário = -v|v| = ( -1raiz10, 3raiz10 ) á
Agora, multiplicamos pelo módulo desejado (4):
u = 4 times ( -1raiz10, 3raiz10 ) = ( -4raiz10, 12raiz10 )

Resposta

a) (-2, 6)
b) ( 2raiz10, -6raiz10 )
c) ( -4raiz10, 12raiz10 )

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