Observe a função f, definida por:
f (x) = x2- 2kx + 29, para x ∈ IR
Se f (x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.
Assim, o valor positivo do parâmetro k é:
(A) 5
(B) 6
© 10
(D) 15
f (x) = x2- 2kx + 29, para x ∈ IR
Se f (x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.
Assim, o valor positivo do parâmetro k é:
(A) 5
(B) 6
© 10
(D) 15
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática $ f(x) = x^2 - 2k x + 29 $ e sabe que para todo valor real de $ x $, $ f(x) $ é maior ou igual a 4. Ou seja, o valor mínimo da função é 4. Nosso objetivo é encontrar o valor positivo de $ k $ que satisfaz essa condição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, especialmente sobre o valor mínimo de uma parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral $ f(x) = a x^2 + b x + c $. O gráfico dessa função é uma parábola. Se $ a > 0 $, a parábola abre para cima e tem um valor mínimo. O ponto onde isso acontece é chamado de vértice da parábola.
Passo 3
Para encontrar o valor do $ x $ no vértice, usamos a fórmula $ x_v = -\frac{b}{2a} $. No nosso caso, a função é $ f(x) = x^2 - 2k x + 29 $, então:
- $ a = 1 $
- $ b = -2k $
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora que sabemos que o vértice ocorre em $ x = k $, vamos encontrar o valor mínimo da função substituindo $ x = k $ na função original:
Passo 5
Sabemos que o valor mínimo da função é 4, então:
Vamos resolver essa equação para $ k $:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Tirando a raiz quadrada:
Como estamos procurando o valor positivo de $ k $, descartamos a solução negativa.
Resposta
O valor positivo de $ k $ é 5. Portanto, a opção correta é a letra (A) 5.