Observe a função f, definida por:
f (x) = x2- 2kx + 29, para x ∈ IR
Se f (x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.
Assim, o valor positivo do parâmetro k é:
(A) 5
(B) 6
© 10
(D) 15

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática $ f(x) = x^2 - 2k x + 29 $ e sabe que para todo valor real de $ x $, $ f(x) $ é maior ou igual a 4. Ou seja, o valor mínimo da função é 4. Nosso objetivo é encontrar o valor positivo de $ k $ que satisfaz essa condição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, especialmente sobre o valor mínimo de uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral $ f(x) = a x^2 + b x + c $. O gráfico dessa função é uma parábola. Se $ a > 0 $, a parábola abre para cima e tem um valor mínimo. O ponto onde isso acontece é chamado de vértice da parábola.

Passo 3

Para encontrar o valor do $ x $ no vértice, usamos a fórmula $ x_v = -\frac{b}{2a} $. No nosso caso, a função é $ f(x) = x^2 - 2k x + 29 $, então:
  • $ a = 1 $
  • $ b = -2k $
Substituindo na fórmula:
x

Passo 4

Agora que sabemos que o vértice ocorre em $ x = k $, vamos encontrar o valor mínimo da função substituindo $ x = k $ na função original:
x = k

Passo 5

Sabemos que o valor mínimo da função é 4, então:
- k^2 + 29 = 4
Vamos resolver essa equação para $ k $:
k
- k^2 = 4 - 29
Multiplicando ambos os lados por -1:
- k^2 = -25
Tirando a raiz quadrada:
k^2 = 25
Como estamos procurando o valor positivo de $ k $, descartamos a solução negativa.

Resposta

O valor positivo de $ k $ é 5. Portanto, a opção correta é a letra (A) 5.

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